Demostrar que $S_n$ es generado por el conjunto $ \{ (12),(123\dots n) \} $ .
Creo que puedo ver por qué esto es cierto. Mi plan general es (1) demostrar que aplicando varias combinaciones de estos dos ciclos se puede obtener cada transposición, y luego (2) demostrar que cada ciclo es un producto de transposiciones.
Sólo tengo problemas en el primer paso. ¿Alguna idea?
Dejemos que $c = (1, 2, \dotsc, n)$ . Vemos que \begin{align*} c (1, 2) c^{-1} &= (2, 3) \\ c (2, 3) c^{-1} &= (3, 4) \\ &\vdots \\ c (n-2, n-1) c^{-1} &= (n-1, n), \end{align*} para que $(i, i+1) \in \langle (1, 2), c \rangle$ para todos $1 \leq i \leq n-1$ . A continuación, tenemos \begin{align*} (2, 3) (1, 2) (2, 3)^{-1} &= (1, 3) \\ (3, 4) (1, 3) (3, 4)^{-1} &= (1, 4) \\ &\vdots \\ (n-1, n) (1, n-1) (n-1, n)^{-1} &= (1, n), \end{align*} para que $(1, i) \in \langle (1, 2), c \rangle$ para todos $1 \leq i \leq n$ . Elija cualquier $1 \leq i < j \leq n$ entonces $$ (i, j) = (1, i) (1, j) (1, i)^{-1} \in \langle (1, 2), c \rangle. $$ Por lo tanto, $\langle (1, 2), c \rangle$ contiene todas las transposiciones. Por lo tanto, $\langle (1, 2), c \rangle = S_n$ .
Pensaba que eso sería cierto para poder conseguir que el conjunto sea equivalente a todas las transposiciones, y que todo ciclo pueda escribirse como un producto de transposiciones, pero no estoy seguro de por qué es cierto.
Primero, utilizamos la Inducción para demostrarlo: $\forall k \in \{1,2,3...n\}: (k \ k+1) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$ .
Caso base:
$ (1 \ 2) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Paso de inducción:
Supongamos: $ (k \ k+1) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Entonces: $(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n)(k \ k+1)(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n)^{-1}= (k+1 \ k+2)$
Además, demostraremos que: $ \forall k \in \{1,2,3...n\} : (1 \ k) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$ .
Caso base :
$ (1 \ 2) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Paso de inducción :
Supongamos: $(1 \ k) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Entonces: $(k \ k +1) ( 1\ k) (k \ k+1)^{-1}=(1 \ k+1)$
Finalmente demostramos que: $\forall a ,b \in \{1,2,3...n\} : (a \ b) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$ .
Dejemos que $a,b \in \{1,2,3...n\}$ sea arbitraria.
Entonces: $(1 \ a)(1 \ b)(1 \ a) = (a \ b)$
Así: $( a \ b) \in \ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Conclusión
Todas las transposiciones pueden ser generadas por $ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$ lo que significa que $S_n$ es generado por $ < (1 \ 2),(1 \ 2 \ 3 \ 4\ ..n) >$
Una prueba más sencilla:
Sabemos que $S_n=\langle(12),(23),\ldots,(n-1,n)\rangle$ . Como ha señalado tylerc0816 $$(12),(23),\ldots,(n-1,n)\in\langle(12),(12\ldots n)\rangle.$$
El grupo más pequeño que contiene todas las trasposiciones adyacentes es $S_n$ . Por lo tanto, $S_n=\langle(12),(12\ldots n)\rangle$ .
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Si $h=(12\ldots n)$ El $(12)^{h}=(23)$ , $(12)^{h^2}=(34)$ etc.
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Me confunden los exponentes. ¿Puedes aclararlo? Gracias
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@Dan: La conjugación se escribe a menudo como exponenciación, por lo que $x^y$ significa $y^{-1} x y$ . Sí satisface las identidades sugeridas: $(xy)^z = x^zy^z$ y $x^{yz} = (x^y)^z$ . Los automorfismos de grupo más generales también suelen escribirse con una notación similar.
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Y es útil para realmente piense en de esta manera: por ejemplo, la conjugación por $h$ resulta ser una operación bastante natural en los ciclos (añade uno a cada número que aparece en el ciclo). ¿Qué podría hacer la conjugación por $(23)$ ¿hacer?
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(en función de sus convenciones de pedido, $x^y$ puede significar $yxy^{-1}$ -- No recuerdo cuál es el estándar)