Demostrar que Sn es generado por el conjunto {(12),(123…n)} .
Creo que puedo ver por qué esto es cierto. Mi plan general es (1) demostrar que aplicando varias combinaciones de estos dos ciclos se puede obtener cada transposición, y luego (2) demostrar que cada ciclo es un producto de transposiciones.
Sólo tengo problemas en el primer paso. ¿Alguna idea?
Dejemos que c=(1,2,…,n) . Vemos que c(1,2)c−1=(2,3)c(2,3)c−1=(3,4)⋮c(n−2,n−1)c−1=(n−1,n), para que (i,i+1)∈⟨(1,2),c⟩ para todos 1≤i≤n−1 . A continuación, tenemos (2,3)(1,2)(2,3)−1=(1,3)(3,4)(1,3)(3,4)−1=(1,4)⋮(n−1,n)(1,n−1)(n−1,n)−1=(1,n), para que (1,i)∈⟨(1,2),c⟩ para todos 1≤i≤n . Elija cualquier 1≤i<j≤n entonces (i,j)=(1,i)(1,j)(1,i)−1∈⟨(1,2),c⟩. Por lo tanto, ⟨(1,2),c⟩ contiene todas las transposiciones. Por lo tanto, ⟨(1,2),c⟩=Sn .
Pensaba que eso sería cierto para poder conseguir que el conjunto sea equivalente a todas las transposiciones, y que todo ciclo pueda escribirse como un producto de transposiciones, pero no estoy seguro de por qué es cierto.
Primero, utilizamos la Inducción para demostrarlo: ∀k∈{1,2,3...n}:(k k+1)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)> .
Caso base:
(1 2)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
Paso de inducción:
Supongamos: (k k+1)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
Entonces: (1 2 3 4 ..n)(k k+1)(1 2 3 4 ..n)−1=(k+1 k+2)
Además, demostraremos que: ∀k∈{1,2,3...n}:(1 k)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)> .
Caso base :
(1 2)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
Paso de inducción :
Supongamos: (1 k)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
Entonces: (k k+1)(1 k)(k k+1)−1=(1 k+1)
Finalmente demostramos que: ∀a,b∈{1,2,3...n}:(a b)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)> .
Dejemos que a,b∈{1,2,3...n} sea arbitraria.
Entonces: (1 a)(1 b)(1 a)=(a b)
Así: (a b)∈ <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
Conclusión
Todas las transposiciones pueden ser generadas por <(1 2),(1 2 3 4 ..n)> lo que significa que Sn es generado por <(1 2),(1 2 3 4 ..n)>
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Si h=(12…n) El (12)h=(23) , (12)h2=(34) etc.
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Me confunden los exponentes. ¿Puedes aclararlo? Gracias
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@Dan: La conjugación se escribe a menudo como exponenciación, por lo que xy significa y−1xy . Sí satisface las identidades sugeridas: (xy)z=xzyz y xyz=(xy)z . Los automorfismos de grupo más generales también suelen escribirse con una notación similar.
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Y es útil para realmente piense en de esta manera: por ejemplo, la conjugación por h resulta ser una operación bastante natural en los ciclos (añade uno a cada número que aparece en el ciclo). ¿Qué podría hacer la conjugación por (23) ¿hacer?
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(en función de sus convenciones de pedido, xy puede significar yxy−1 -- No recuerdo cuál es el estándar)