Por qué el vector de gradiente es perpendicular al plano

Question

Sé qué es el vector de gradiente o$\nabla F$ y sé cómo demostrar que es ortogonal a la superficie (usando el cálculo, no intuitivo). En un caso particular, en el que tenemos una función de tres variables, quiero saber por qué el vector de gradiente es perpendicular como se mencionó. Quiero decir, no en términos teóricos, sino intuitivos.