¿Qué significa "construir una integral de Riemann-Stieltjes"?

Question

Esta pregunta se refiere a un ejercicio (1.11c) del libro de Reed y Simon sobre física matemática. En las primeras partes de este problema, se introduce al lector la noción de funciones de variación acotada:

Definición: Una función $\alpha$ en $[0,1]$ se dice que es de variación limitada si hay un $C$ tal que $$\sum_{i=1}^{n-1} |\alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|\leq C $$ para cualquier secuencia $0\leq x_1\leq \dots \leq x_n \leq 1 $ .

A continuación, empezamos por definir $I_\alpha$ una función en el espacio de las funciones escalonadas en $[0,1]$ , llamado $S[0,1]$ . Actúa sobre funciones escalonadas (de la forma $\sum_{i=1}^n s_i \chi_i$ , donde $s_i$ es una constante y $\chi_i$ es la función característica del intervalo $[x_i,x_{i+1})$ ) de la siguiente manera: $$I_\alpha\left(\sum_{i=1}^n s_i \chi_i \right)=\sum_{i=1}^n s_i[\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})]$$

Luego me pidieron que probara que $I_\alpha$ es un operador lineal acotado si $\alpha$ es de variación acotada (bastante sencillo, así lo he conseguido). La siguiente parte de la pregunta dice entonces:

Dejemos que $\alpha$ sea de variación acotada en $[0,1]$ . Construir una integral de Riemann-Stieltjes $\int f\ \mathrm{d}\alpha$

Esto me deja perplejo: ¿Qué significa "construir una integral"? Buscando en el material que ya he cubierto encontré un pasaje relevante sobre la integral de Riemann. Este pasaje (en la página 11) aparece después de demostrar que una función $I$ actuando en $S[0,1]$ definida de forma totalmente análoga a $I_\alpha$ que he definido antes (simplemente tomando $\alpha(x)=x$ ), es un B.L.T. en $S[0,1]$ .

Los autores se limitan a afirmar que, dado que los números reales son completos, esta T.L.B. puede extenderse de forma única a la terminación de $S$ (utilizando el teorema B.L.T., introducido anteriormente). "La transformación ampliada $\tilde{I}(f)$ , restringido a $PC[0,1]$ se llama entonces la integral de Riemann". A continuación se comenta que el método de definir primero una función sobre un conjunto denso en el espacio de interés y luego utilizar la terminación para extenderla es más útil en general, y que esto debería ser probado por el lector en el problema 1.11 (no es muy esclarecedor...).

Sin embargo, se deja completamente sin especificar ¿qué hay que hacer exactamente para poder decir que se ha "construido una integral '. Sé que se puede utilizar el teorema B.L.T. para extender la función al espacio de interés (supongo que $PC$ una vez más?), pero ¿hay algo que se deba hacer concretamente que no sea "agitar la varita mágica" y decir que la extensión de mi $I_\alpha$ actuando en $S[0,1]$ es la integral de Riemann-Stieltjes?

Answer 1

Si $\alpha$ es una función de variación acotada en $[a,b]$ y si $f$ es una función continua, entonces la definición clásica de la integral de Riemann-Stieljes de $f$ con respecto a $\alpha$ es $$ \int_{a}^{b}f(t)\,d\alpha(t) = \lim_{\|\mathscr{P}\|\rightarrow 0} \sum_{n=1}^{k}f(t_{k}^{\star})(\alpha(t_{k})-\alpha(t_{k-1}), $$ donde $\mathscr{P}$ es una partición $a = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{n}=b$ y $t_{k}^{\star} \in [t_{k-1},t_{k}]$ es la partición habitual de tipo Riemann para $[a,b]$ . Este límite integral existe para cualquier función continua $f$ si $\alpha$ es una función de variación acotada en $[a,b]$ . La integral satisface $$ \left|\int_{a}^{b}f(t)\,d\alpha(t)\right| \le \|f\|_{\infty}\|\alpha\|, $$ donde $\|f\|_{\infty}=\max_{a\le t\le b} |f(t)|$ y donde $\|\alpha\|$ es la variación total para $\alpha$ en $[a,b]$ . En otras palabras, $$ I_{\alpha}(f) = \int_{a}^{b}f(t)\,d\alpha(t) $$ es una función lineal acotada en $C[a,b]$ . O, utilizando el acrónimo Reed-Simon, $I_{\alpha}$ es un B.L.T..

El ejercicio del que salió esto en Reed-Simon es en el que te piden que definas $I_{\alpha}$ en el espacio lineal de las funciones escalonadas $S[a,b]$ , para mostrar $I_{\alpha}$ está limitada con respecto a la norma máxima en $S[a,b]$ si $\alpha$ es de variación acotada, y utilizar un argumento para extender $I_{\alpha}$ de forma única por continuidad a $C[a,b]$ sabiendo que $S[a,b]$ es denso en $C[a,b]$ . Eso es lo que quieren decir con construir la integral. La extensión continua de $I_{\alpha}$ a $C[a,b]$ es su construcción de la integral. Este problema es paralelo a la construcción utilizada anteriormente en el capítulo para la integral de Riemann.

Nota: Esto no es completamente clásico porque la definición clásica de la integral de Riemann-Stieltjes $\int_{a}^{b}f(t)d\alpha(t)$ puede no existir para una función $f$ que no es continua en algunos $c \in (a,b)$ , si $\alpha$ tampoco es continua en $c$ .