Demostrar que las matrices $B$ y $(I+B)^{-1}$ ir al trabajo

Question

De la siguiente manera derivación según el paso, en el que hay que sustituir $A=I$ se puede obtener:

$$(I+B)^{-1}=I-B(I+B)^{-1} \\ (I+B)^{-1}=I-(I+B)^{-1}B$$

De lo que se deduce que las matrices $B$ y $(I+B)^{-1}$ debe desplazarse.

Si el radio espectral de $B$ es menor que $1$ que se puede demostrar mediante la expansión en serie de Neumann ( $B$ viajar con $I$ y cualquier poder de $B$ ).

Si $B^{-1}$ existe: $$B(I+B)^{-1} = (B^{-1})^{-1}(I+B)^{-1}=((I+B)B^{-1})^{-1}=(B^{-1}+I)^{-1} \\ (I+B)^{-1}B = (I+B)^{-1}(B^{-1})^{-1}=(B^{-1}(I+B))^{-1}=(B^{-1}+I)^{-1}$$

Sin embargo, la mencionada derivación sólo requiere $(I+B)^{-1}$ existir, por lo que me pregunto cómo la conmutación de $B$ y $(I+B)^{-1}$ ¿se puede demostrar en el caso general?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\operatorname{Id}+B$ y $(\operatorname{Id}+B)^{-1}$ ya que son inversos entre sí. Pero $\operatorname{Id}$ conmuta con cualquier matriz y, en particular, con $\operatorname{Id}+B$ . Por lo tanto, $B$ también se desplaza con él.