Una desigualdad para arctan $x$

Question

Por qué es cierto que $|\arctan x-\arctan y|\leq |x-y|$ ? He intentado utilizar $\tan x$ pero no concluí a algo.

Answer 1

$$\arctan x-\arctan y=\frac{x-y}{1+z^2}$$ donde $x<z<y$ . Esto se cumple por el teorema del valor medio y demuestra el resultado.