¿La función de Green del paseo aleatorio simple sobre $\mathbb Z^d$ siempre varían localmente?

Question

Dejemos que $G_0(x)=G(x,0)$ sea la función de Green del paseo aleatorio simétrico simple sobre $\mathbb Z^d$ , $d\geq 3$ . La cuestión es si $G_0$ debe variar siempre localmente, es decir, si

$$ \sum_{\substack{y\in\mathbb Z^d:\\ |y-x|=1}} |G_0(x)-G_0(y)| >0 $$

es válida para todos los $x\in\mathbb Z^d$ .

La afirmación parece intuitiva a la vista de la interpretación del paseo aleatorio de $G_0$ es decir, $G_0(x)=\mathbb P(\exists n: S_n=x) G_0(0)$ .

Para los grandes $x$ la afirmación puede verificarse a partir de la asintótica de $G_0$ .

Answer 1

Utilizaremos el hecho elemental de que para $m \ge k \ge m/2$ los coeficientes binomiales satisfacen $${m\choose k+1} <{m \choose k}. \quad (\#)$$

El caso $x=0$ es evidente, por lo que podemos suponer $x$ tiene alguna coordenada no nula. Por simetría, podemos suponer que $x_1>0$ . Entonces basta con demostrar que para cada $y \in \mathbb Z^d$ que satisface $y_1 \ge 0$ el punto $z=z(y)$ que está de acuerdo con $y$ en todas las coordenadas excepto en la primera, donde $z_1=y_1+2$ tenemos la desigualdad estricta $$P(S_n=z)<P(S_n=y)$$ para todos $n$ tal que $P(S_n=z)>0$ . Sea $A_n$ sea el conjunto (aleatorio) de pasos entre los primeros $n$ cuando el paseo aleatorio se movió en la primera coordenada, y dejemos que $w^*$ denotan la proyección de un nodo $w \in\mathbb Z^d$ a las coordenadas $2,3 ,\ldots, d$ . Fijar $y$ con $y_1 \ge 0$ y que $z=z(y)$ como en el caso anterior, de modo que $z^*=y^*$ . Si $A_n$ satisface $$P(S_n=z \,|A_n)>0 \,,$$ entonces la cardinalidad $|A_n|$ y $z_1$ deben tener la misma paridad, y por $(\#)$ , $$P(S_n=z\, | \, A_n)=P(S_n^*=z^* \,|A_n) \cdot {|A_n| \choose \frac{|A_n|+z_1}{2}}2^{-|A_n|} \; < $$ $$ \: P(S_n^*=y^* \,|A_n) \cdot {|A_n| \choose \frac{|A_n|+y_1}{2}}2^{-|A_n|}= P(S_n=y\, | \, A_n) \,.$$ Tomando las expectativas (es decir, promediando sobre $A_n$ ) da $P(S_n=z)<P(S_n=y)$ .

Answer 2

Si, por ejemplo, el paseo aleatorio sólo puede moverse en la dirección positiva respecto a un hiperplano orientado $H$ en $\mathbb R^d$ entonces la función de Green será localmente $0$ y por tanto constante para todos los puntos $x\in\mathbb Z^d$ a distancia $>1$ de $H$ en dirección negativa con respecto a $H$ .

La nulidad local y, por tanto, la constancia local de la función de Green también se producirá si el paseo aleatorio sólo puede moverse a lo largo de una subred suficientemente pequeña de $\mathbb Z^d$ .

Answer 3

A la luz de su comentario, basta con mostrar lo mismo sobre $\mathbb P^0(\exists n: S_n=x)$ . Sea $x$ sea cualquier punto alejado del origen, y que If $\tau_x = inf \lbrace n: S_n=x \rbrace $ . Sea $N_x = \lbrace y : |x-y| = 1 \rbrace $ . Entonces condicionando en la primera vez que la caminata golpea $N_x$ $$$$ $$\mathbb P^0(\tau_x < \infty ) = \Sigma_{y \in N_x} \mathbb P^0(\tau_y < \infty )\mathbb P^y(\tau_x < \infty ) $$ $$ < \Sigma_{y \in N_x} \mathbb P^0(\tau_y < \infty )$$ donde la primera línea sigue porque hay que pulsar $N_x$ antes de x y la desigualdad estricta se deduce porque $ P^y(\tau_x < \infty ) < 1 $ para todo y.