Algunas cuestiones básicas sobre las variedades en el espacio biproyectivo (producto de dos $\mathbb{P}^m$ 's)

Question

Estoy aprendiendo sobre el producto de los espacios proyectivos y tengo algunas preguntas básicas que me gustaría resolver. Voy a trabajar con $\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^m$ . Y por forma bihomogénea me refiero a $F(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ tal que $F(a\mathbf{x}, b\mathbf{y}) = a^{d_1}b^{d_2}F(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ para algunos $d_1$ y $d_2 \geq 0$ . (coeficientes en $\mathbb{C}$ )

Supongamos que tengo una colección de formas bihomogéneas $S$ .
1) ¿Cuál es la relación entre la dimensión de variedad afín $$ \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{C}^{2m+2}: F = 0 (F \in S) \} $$ y la dimensión (como variedad biproyectiva) $$ \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{P}^{m} \times \mathbb{P}^m: F = 0 (F \in S) \} $$ ? (Mis disculpas por abusar de la notación...)

2) Supongamos que tengo un hiperplano $$ V(L) = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in \mathbb{P}^{m} \times \mathbb{P}^m: L(\mathbf{x}) = 0 (F \in S) \} $$ donde $L$ es una forma lineal no nula en el $\mathbf{x}$ variables. ¿Se deduce entonces que $$ \dim (X \cap V(L)) = \dim X - 1 $$ como en el espacio proyectivo habitual?

¡Muchas gracias!

Edición: He movido 1) de esta pregunta a mathovreflow https://mathoverflow.net/questions/307464/dimensions-of-a-vareity-and-its-affine-cone-in-biprojective-spaces . Así que ahora sólo pido 2).

Answer 1

1) Supongamos que $F$ es distinto de cero. $V(F)\subset \Bbb C^{2m+2}$ es de codimensión 1 (o dimensión $2m+1$ ), por lo que queda por determinar qué $\dim V(F)\subset \Bbb P^m\times\Bbb P^m$ es. Si $d_1$ o $d_2$ es cero, entonces $V(F)\subset \Bbb P^m\times \Bbb P^m$ puede estar vacío, por lo que ahora suponemos que ambos son estrictamente positivos.

Incrustar $\Bbb P^m\times \Bbb P^m$ en $\Bbb P^{m^2+2m}$ por la incrustación de Segre. WLOG, $d_1\leq d_2$ . Escoge $l$ un polinomio lineal homogéneo en $\Bbb C[x_0,\cdots,x_m]$ para que ningún componente irreducible de $V(F)\cap \Bbb P^m$ está contenida en $V(l)$ . Entonces $G=l^{d_2-d_1}F$ es un polinomio homogéneo en $\Bbb P^{m^2+2m}$ utilizando las coordenadas de Segre para que $V(G)\cap (\Bbb P^m\times \Bbb P^m) = V(F)\subset (\Bbb P^m\times \Bbb P^m)$ en el conjunto abierto $D(l)\subset \Bbb P^m\times \Bbb P^m$ . Dado que ningún componente irreducible de $V(F)$ está contenida en $V(l)$ para cada componente irreducible $X_i\subset V(F)$ , $\dim X_i = \dim X_i\cap D(l)$ . Pero podemos calcular esta cantidad final en $V(G)\cap (\Bbb P^m\times \Bbb P^m)$ y como las codimensiones se suman, tenemos que $\dim X_i= 2m-1$ .

La teoría de la intersección de múltiples formas de este tipo $F$ seguirá el mismo patrón: sean cuales sean las dimensiones de cada componente irreducible de $V(F)\subset \Bbb C^{2m+2}$ la dimensión de la correspondiente componente irreducible en $\Bbb P^m\times\Bbb P^m$ será 2 menos, y entonces podrás intersecar a tu gusto.

2) No, es posible que $X\cap V(L)$ está vacío: considere $m=1$ con $X=V(x_0)$ y $L=x_1$ . De hecho, se pueden incrustar variedades bastante grandes que no se cruzan: $V(x_0,\cdots,x_k)\times\Bbb P^m$ y $V(x_{k+1},\cdots,x_m)\times\Bbb P^m$ no se cruzan dentro de $\Bbb P^m\times\Bbb P^m$ .