¿Por qué no se pueden parametrizar las curvas elípticas con funciones racionales?

Question

Antecedentes: Para nuestra clase de álgebra abstracta, se nos pidió demostrar que $\mathbb{Q}(t, \sqrt{t^3 - t})$ no es puramente transcendental. Claramente tiene un grado de trascendencia $1$, por lo que si fuera puramente transcendental, existiría un transcendente $u$ y funciones racionales $f$ y $g$ tales que $f(u) = t$ y $g(u) = \sqrt{t^3 - t}$. Por lo tanto, $f(u)^3 - f(u) = g(u)^2$. Pero como $u$ es trascendental, $f(x)^3 - f(x) = g(x)^2$ como polinomios. Esta sería una parametrización racional de la curva elíptica $y^2 = x^3 - x.

Como no estoy muy familiarizado con las curvas elípticas, no pude demostrar directamente que tal parametrización no puede existir. Así que mostré que daría lugar a una solución entera a $pq(p + q)(p - q) = r^2$. El camino para llegar aquí es realmente interesante, pero largo, así que a menos que alguien pregunte, lo omitiré. Utilizando un argumento vagamente geométrico de Fermat, demostré que no hay soluciones enteras.

Pero esta fue una prueba muy 1) larga 2) difícil de motivar 3) extraña, y habría sido mucho más fácil si hubiera podido demostrar que las curvas elípticas no admiten una parametrización racional. Las búsquedas en Internet han mencionado todo tipo de cosas sobre la topología de la curva y parametrizaciones en la función $\wp$ de Weierstrass, pero parecían dar el hecho por sentado, porque nunca vi una prueba.

¿Podría alguien mostrarme una demostración de esta afirmación? Además, $y^2 = x^3 + 0x + 0$ sí tiene una parametrización racional; ¿es este algún tipo de caso degenerado que se puede descartar?

Answer 1

¿No es $\Bbb Q(t,\sqrt{t^3-t})$ simplemente isomorfo a $$\Bbb Q(t)[X]/(X^2-t^3+t),$$ por lo que es una extensión algebraica de un campo puramente trascendente de grado de trascendencia 1?

De todos modos, si $E$ es una curva elíptica (plano complejo no singuar) la teoría de Weierstrass muestra que $$E\simeq\Bbb C/\Lambda$$ como variedad compleja, donde $\Lambda\subset\Bbb C$ es una retícula, es decir, un subgrupo discreto de rango maximal ($=2$). Así, el conjunto de puntos complejos de $E$ es un toro, un espacio topológico con grupo fundamental no trivial.

Por otro lado, cualquier curva algebraica suave que admita una parametrización racional es isomorfa a la recta proyectiva $\Bbb P^1$ y el conjunto de puntos complejos $\Bbb P^1(\Bbb C)$ (la recta compleja proyectiva) es topológicamente equivalente a la esfera $S^2$ que tiene un grupo fundamental trivial.

Answer 2

Suponga que una curva elíptica $E$ tiene una parametrización racional mediante un mapa holomorfo

$$f: \mathbb P^1 \longrightarrow E.$$

La fórmula de Riemann-Hurwitz implica

$$g(\mathbb P^1) = b/2 + (deg \ f)(g(E) -1) + 1$$

con género $g(\mathbb P^1) = 0$, $g(E) = 1$ y $b \ge 0$ el orden total de ramificación de $f$, una contradicción, q.e.d