Identidades y teoremas del cálculo vectorial para trasladar las derivadas sobre

Question

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ . Entonces tenemos \begin{align*} \int_{\Omega} \textbf{v} \cdot \nabla (\nabla\cdot \textbf{u})dX &= \int_{\Omega} $$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2\end{bmatrix}$$ \cdot \nabla (u_{1,x} + u_{2,y}) dX, \\\cdot &= \int_{Omega} $$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$$ \cdot $$\begin{bmatrix} u_{1,xx} + u_{2,yx} \\ u_{1,xy} + u_{2,yy}\end{bmatrix}$$ dX, \\Nde la que &= \int_{Omega} v_1 (u_{1,xx} + u_{2,xy}) + v_2 (u_{1,xy} + u_{2,yy}) dX. |align*} ¿Hay una manera fácil de "mover las derivadas" a los componentes de $\textbf{v}$ (utilizando el teorema de la divergencia o la integración por partes, quizás)?

Quiero reescribir mi integral de partida como la suma de una integral sobre $\Omega$ y una integral sobre el límite $\partial \Omega$ . La motivación para ello es derivar la forma débil de un BVP que implique elasticidad lineal.

¿Hay alguna identidad de cálculo vectorial que me dé lo que quiero inmediatamente?

Vea aquí:

Derivación de la forma débil de la ecuación de elasticidad lineal

Answer 1

Su integrando puede escribirse como sigue: $$\vec{v}\cdot\vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\vec{u})=\mathrm{div}(\vec{v}\,\mathrm{div}\vec{u})-\mathrm{div}\vec{v}\,\mathrm{div}\vec{u}$$

Introdúcelo en tu ecuación y aplica $\textit{Gauss}$ teorema: $$\int_{\Omega}{\mathrm{div}\vec{F}\,dV}=\int_{\partial\Omega}{\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS}$$ Para llegar a la formulación final que usted pidió $$\int_{\Omega}{\vec{v}\cdot\vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\vec{u})\,dV}=\int_{\Omega}{\mathrm{div}(\vec{v}\,\mathrm{div}\vec{u})\,dV}-\int_{\Omega}{\mathrm{div}\vec{v}\,\mathrm{div}\vec{u}\,dV}=\int_{\partial\Omega}{\vec{v}\cdot\vec{n}\,\mathrm{div}\vec{u}\,dS}-\int_{\Omega}{\mathrm{div}\vec{v}\mathrm{div}\vec{u}\,dV}$$