(-8)^(4/3) es igual a 16 o (-16)*(-1)^(1/3)?

Question

1. $(-8)^{4/3}=\bigl((-8){^4\bigr)^{1/3}}=4096^{1/3}=16$ .

2. $$ \begin{align*} (-8)^{4/3} &= (-8)^{1+1/3} \\ &= -8\times(-8)^{1/3} \\ &= -8\times (-1)^{1/3}\times 8^{1/3} \\ &= -2\times 8\times (-1)^{1/3} \\ &= -16\times (-1)^{1/3}. \end{align*} $$ Entonces, ¿cuál es la correcta?

Answer 1

Ambas soluciones son correctas. Para ver su primera y segunda solución alinear nota que una solución de $x = (-1)^{1/3}$ es $$x = -1$$

Así que una posible solución de su problema original es $$-16*(-1)^{1/3} = 16$$

Esto se puede comprobar observando que $$(-1)^3 = -1$$

En el plano complejo $x= (-8)^{4/3}$ tiene múltiples soluciones de la forma $-16r_i$ donde $r_1,r_2,r_3$ son las raíces cúbicas complejas de $-1$ que son

\begin{align*} r_1 &= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ r_2 &= \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \\ r_3 &= -1 \end{align*}

Answer 2

Utilizando las siguientes reglas, con $a,b \in \mathbb{R}$ :

1. $\left|a^b\right|=\left|a\right|^b$ ;

2. $\arg\left(a^b\right)=\tan^{-1}\left(\cos(b\cdot\arg(a)),\sin(b\cdot\arg(a))\right)$

$$(-8)^{\frac{4}{3}}=$$ $$\left|(-8)^{\frac{4}{3}}\right|e^{\arg\left((-8)^{\frac{4}{3}}\right)i}=$$ $$\left|-8\right|^{\frac{4}{3}}e^{\arg\left((-8)^{\frac{4}{3}}\right)i}=$$ $$8^{\frac{4}{3}}e^{\arg\left((-8)^{\frac{4}{3}}\right)i}=$$ $$16e^{\arg\left((-8)^{\frac{4}{3}}\right)i}=$$ $$16e^{\tan^{-1}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right),\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)i}=$$ $$16e^{\tan^{-1}\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i}=$$ $$16e^{-\frac{2\pi}{3}i}=$$ $$16\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)+16\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)i=$$ $$16\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+\left(16\cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i=$$ $$-8+(-8\sqrt{3})i=$$ $$-8-8\sqrt{3}i$$

Así que:

$$(-8)^{\frac{4}{3}}=-8-8\sqrt{3}i$$

Answer 3

Dejemos que $a$ sea un número real cualquiera. Podemos demostrar que la ecuación $$ x^3 = a $$ tiene una y sólo una raíz real. Se llama raíz cúbica de $a$ y se denota $a^{1/3}$ o $\sqrt[3]{a}$ . Desde $(-1)^3 = -1$ concluimos que $(-1)^{1/3} = -1$ .

Answer 4

Ambos son correctos.

$$(-1)^{3} = -1$$

porque es

$$-1 \times -1 \times -1 $$

y una negativa $\times$ un negativo es un positivo:

\begin{align*} (-1 \times -1) \times -1 \\ = 1 \times -1 \\ = -1 \\ \end{align*}

Por ello, la solución a "¿Cuál es la raíz cúbica de -1 ( $\sqrt[3]{-1}$ )" es $-1$ .

Esto significa que $$-16 \times -1^{1/3} = 16$$

también puede escribirse como

$$-16 \times -1 = 16$$

lo cual es claramente cierto.

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Además, puede ser más fácil resolver

$$−8^{4/3}$$

con el siguiente método:

\begin{align*} -8^{4/3} \\ &=\sqrt[3]{-8}^4 \\ &=2^4 \\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &=16 \\ \end{align*}