Modelo de cohete simple

Question

Tengo un problema al crear un modelo para un vuelo horizontal de un cohete.

Quiero modelar un cohete con fuerza constante, constante de arrastre y gravedad. También tengo que tener en cuenta una masa y un arrastre cambiantes. Sé que podría calcular el movimiento de este cohete por algo como el algoritmo Runge-Kutta pero quiero saber si es posible crear una ecuación que me dé una posición (altura) para un tiempo determinado.

Básicamente esas son mis funciones:

$$F_G (t) = - g \, m (t)$$

$$F_D (t) = - c \, v^2 (t)$$

$$F (t) = F_T (t) - F_G (t) + F_D (t)$$

donde $F_T$ es el empuje (constante), $F_G$ es la gravedad, y $F_D$ es el arrastre.

Estoy un poco atascado aquí así que cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Suponiendo que tu cohete aún no sea lo suficientemente rápido. Por la segunda ley de Newton (como dijo gt6989):

$m\ddot{x}+\dot{m}\dot{x}=F(t)-gm-c\dot{x}^2$ o $$m\ddot{x}+\dot{m}\dot{x}+c\dot{x}^2=F(t)-gm$$ Todavía hay que dar modelos para el empuje y también para la masa que se pierde. Una solución explícita no será tan fácil.

También se puede introducir la sustitución $\dot{x}=z$

$$m\dot{z}+\dot{m}z+cz^2=F(t)-gm$$

Se trata de una ecuación diferencial riccati. Puede que tengas suerte si hay una solución general explícita.

$$\dot{z}=\frac{m_d}{m}z-\frac{c}{m}z^2+\frac{F(t)}{m}-g$$

$$\dot{z}=\frac{m_d}{m_0 - m_d t}z-\frac{c}{m_0 - m_d t}z^2+\frac{F_0}{m_0 - m_d t}-g$$

Maple da una solución explícita con funciones de Bessel.