Definir el conjunto polar

Question

Para un subconjunto P de R^n (números reales) el conjunto polar se define por: $$ P^*:= \{ y\in \Bbb R^n\mid y\cdot x \leq 1 \text{ for all } x\in P \}. $$

Alguien puede explicar la definición en inglés sencillo, ya que me cuesta entender las notaciones utilizadas y la estructura de estos conjuntos.

La mejor suposición que tengo es: $P*$ se define como el conjunto de todos los (x,y) de lo que se deduce que, para todo real y ( $\in \mathbb {R^n})$ existe un x en P que satisface $y·x \le 1$

Incluso si lo tienen correcto, ¿cómo es esto útil en la geometría general? La pregunta original es mostrar que si $P$ es un conjunto convexo que contiene el origen, entonces (P*)*=P

Answer 1

Una forma de leer la definición literalmente es decir lo siguiente:

$P^*$ es el conjunto de todos los vectores $y$ para lo cual $y \cdot x \leq 1$ es válida para todos los $x \in P$ .

Para más información sobre cómo dar sentido a este tipo de definiciones, consulte la página wiki de "notación del constructor de conjuntos" . La idea de un conjunto polar es que proporciona una "prueba" mediante la cual podemos comprobar si un elemento no está en $P$ .

Para ver cómo funciona, veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto $$ P = \{(x_1,x_2) \in \Bbb R^2 \mid 0 \leq x_2 \leq x_1\}. $$ Eso es, $P$ es la región en la $xy$ -plano que satisface $0 \leq y \leq x$ . Resulta que el conjunto polar será igual a $$ P^* = \{(x_1,x_2) \in \Bbb R^2 \mid x_1 \leq 0 \text{ and } x_2 \leq -x_1\}. $$ Ahora, considera el punto $v = (1,2)$ que podemos ver que no es un elemento de $P$ . El conjunto polar nos da otra forma de demostrar que $v$ no es un elemento de $P$ si hay un elemento $w \in P^*$ para lo cual $w \cdot x > 1$ entonces podemos estar seguros (por la definición de cono polar) de que $v$ no es un elemento de $P$ .

En este caso, es útil considerar el elemento $w = (-2,2) \in P^*$ . Encontramos que $$ v \cdot w = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (2) = 2 > 1. $$ Si $v$ eran un elemento de $P$ entonces, por la definición de cono polar, cualquier $w \in P^*$ tendría que satisfacer $v \cdot w \leq 1$ . Como eso no ocurre aquí, podemos estar seguros de que $v$ no es un elemento de $P$ .

Answer 2

Diga $P$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ (quizás convexo) que contiene $0$ (en su interior). Consideremos que un hiperplano está dado por la ecuación en $x$ $$\sum_{i=1}^n a_i x_i = b$$

Supongamos ahora $b\ne 0$ (es decir, el hiperplano no contiene $0$ ). Dividiendo por $b$ obtenemos una ecuación equivalente $$\sum a'_i x_i = 1$$ donde $a'_i = \frac{a_i}{b}$ . Así que podemos escribir la ecuación de un hiperplano que no pasa por el origen como $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = 1$$ También existe la ventaja de que ahora la ecuación es única.

Ahora, queremos que todos estos hiperplanos (que no contienen $0$ ) que dejan $P$ en un lado. Ahora, un hiperplano de ecuación $\mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = 1$ divide el espacio en dos semiespacios $\mathbf{a} \cdot \mathbf{x} \le (\ge) 1$ . Desde $P$ contiene $0$ y $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{0}=0 < 1$ , para $P$ para estar en un lado del hiperplano es equivalente a $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{x} \le 1$$ para todos $x \in P$ .

Ahora, supongamos que $P$ es cerrado, convexo y contiene $0$ y $z$ un punto de $\mathbb{R}^n$ no contenida en $P$ . Intuitivamente debería estar claro ( y se puede demostrar) que existe un hiperplano que separa estrictamente $P$ y $z$ . En otras palabras, existe $y\in \mathbb{R}^n$ tal que $$y \cdot x < 1$$ para todos $x \in P$ y $$y \cdot z>1$$

Un momento de reflexión muestra que $y\in P^{\star}$ y $z \not \in (P^{\star})^{\star}$ . La conclusión es que $(P^{\star})^{\star}$ debe incluirse en $P$ . Sin embargo, es fácil ver que $P$ está contenida en $(P^{\star})^{\star}$ . Por doble inclusión obtenemos la igualdad $P=(P^{\star})^{\star}$ .