Convergencia uniforme e intervalos de diferenciación

Question

He aprendido: Si una secuencia de funciones diferenciables converge puntualmente en un intervalo $[a,b]$ y sus derivadas convergen uniformemente en $[a,b]$ entonces podemos diferenciar término por término.

¿Es cierto que podemos sustituir $[a,b]$ con $[a, \infty)$ ¿o quizás un intervalo abierto? ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Si $f_n(x)$ converge uniformemente para $x\in [a,\infty)$ entonces, en particular, converge uniformemente en cada intervalo compacto $[a,b] \subset [a,\infty)$ por lo que podemos diferenciar término por término en $[a,b]$ . Como cada punto $x\in [a,\infty)$ puede encajar en un intervalo de este tipo $[a,b]$ la derivada término a término se aplica en todas partes en $[a,\infty)$ .

Si $f_n(x)$ converge uniformemente en $(a,b)$ y converge puntualmente en $a$ y en $b$ entonces converge uniformemente en $[a,b]$ .

Podemos obtener una bonificación de $f_n(x)$ que convergen uniformemente en $[c,\infty)$ . Si $\lim_{n\to \infty} \left ( \lim_{x\to\infty} f_n(x) \right )$ existe, entonces $\lim_{x\to \infty} \left ( \lim_{n\to\infty} f_n(x) \right )$ existe y es igual a la primera.