Dejemos que $\mathcal{I}:=[0,1]$ . Sea $\mathcal{R}(f)$ denotan el rango de una función $f$ . Sea $\Sigma$ sea el $\sigma$ -de la álgebra de $\mathcal{I}$ .
Considere la medible y continua funciones $\varphi:\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{I}$ y $\psi:\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{I}$ .
Para $t\in \mathcal{I}$ construye las funciones $$ \alpha:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{I} \text{ with } \alpha(t):=\varphi(\overbrace{\varphi(t)}^{\in I}) $$ $$ \beta:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{I} \text{ with } \beta(t):=\varphi(\overbrace{\psi(t)}^{\in I}) $$ $$ \gamma:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{I} \text{ with } \gamma(t):=\psi(\overbrace{\varphi(t)}^{\in I}) $$ $$ \delta:\mathcal{I}\rightarrow \mathcal{I} \text{ with } \delta(t):=\psi(\overbrace{\psi(t)}^{\in I}) $$ Aviso: $$ \mathcal{R}(\alpha)=\varphi_{\star}(\mathcal{R}(\varphi)):=\{\varphi(t) \in \mathcal{R}(\varphi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\varphi)\cap \mathcal{I}\}= \{\varphi(t) \in \mathcal{R}(\varphi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\varphi)\} \subseteq \mathcal{R}(\varphi) $$ $$ \mathcal{R}(\beta)=\varphi_{\star}(\mathcal{R}(\psi)):=\{\varphi(t) \in \mathcal{R}(\psi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\psi)\cap \mathcal{I}\}= \{\varphi(t) \in \mathcal{R}(\psi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\psi)\} \subseteq \mathcal{R}(\varphi) $$ $$ \mathcal{R}(\gamma)=\psi_{\star}(\mathcal{R}(\varphi)):=\{\psi(t) \in \mathcal{R}(\varphi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\varphi)\cap \mathcal{I}\}= \{\psi(t) \in \mathcal{R}(\varphi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\varphi)\} \subseteq \mathcal{R}(\psi) $$ $$ \mathcal{R}(\delta)=\psi_{\star}(\mathcal{R}(\psi)):=\{\psi(t) \in \mathcal{R}(\psi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\psi)\cap \mathcal{I}\}= \{\psi(t) \in \mathcal{R}(\psi) \text{ s.t. } t \in \mathcal{R}(\psi)\} \subseteq \mathcal{R}(\psi) $$
Pregunta : Son $\alpha, \beta,\gamma,\delta$ ¿funciones medibles? Mi confusión viene del hecho de que he leído en varias fuentes que la composición de funciones medibles por Lebesgue no es necesariamente medible por Lebesgue. Si eso es válido también para la mensurabilidad genérica, ¿qué hay de malo en la siguiente demostración? ¿Tengo que utilizar continuidad para que eso funcione?
Prueba: Considere la función $\beta$ . $\beta$ es medible si $$ \beta^\star(E):=\{t \in \mathcal{I} \text{ s.t. } \beta(t)\in E \cap \mathcal{R}(\beta)\}\in \Sigma \text{, $ \N - para todos los E \N - en \N - Sigma $} $$ Tenemos que $\forall E \in \Sigma$ $$ \{t \in \mathcal{I} \text{ s.t. } \beta(t)\in E \cap \mathcal{R}(\beta)\}= \{t\in \mathcal{I} \text{ s.t. } \gamma(t)\in \overbrace{E \cap \varphi_{\star}(\mathcal{R}(\psi))}^{\subseteq E\cap \mathcal{R}(\varphi)} \}\subseteq \{t\in \mathcal{I} \text{ s.t. }E\cap \mathcal{R}(\varphi) \}\in \Sigma \text{ by $ |varphi $ measurable} $$
