Descomposición del polinomio en factores irreducibles

Question

Descomponer $x^5 + x + 1$ en factores irreducibles en $\mathbb{Z}_2[x]$ .

Me gustaría saber cómo razonar y cómo proceder. Soy un principiante en este campo de las matemáticas, y estoy tratando de entender y aprender también a través de ejemplos.

He conseguido factorizar el polinomio anterior como

$$\left(x^2+x+1\right) \left(x^3-x^2+1\right)$$

Ahora $x^2+x+1$ es una cuadrática irreducible, creo.

¿Cómo debo proceder?

Además, si conoces algunas notas sobre este tema, ¡estaría feliz y agradecido si las enlazas aquí!

Answer 1

Parece que ya has encontrado la factorización, pero de todas formas pondré unas palabras al respecto. No es excesivamente difícil forzar una factorización en campos finitos pequeños si el grado del polinomio a factorizar es suficientemente pequeño. Esto se debe a que hay pocos polinomios irreducibles mónicos de grado pequeño en estos campos (enumerando tales cuadráticos y tal vez incluso cúbicos para $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_3$ es un buen ejercicio $^\dagger$ ). Una vez que tenga una lista de posible divisores, puedes probarlos uno a uno con la división larga polinómica.

Como ya has encontrado la factorización, sólo queda verificar la irreducibilidad de los polinomios en tu factorización. Esta es la parte fácil: si un polinomio $f$ sobre un campo $F$ es tal que $\deg(f) \leq 3$ entonces $f$ es irreducible $\iff f$ no tiene raíces en $F$ (pruébelo usted mismo: también es un buen ejercicio $^\ddagger$ ). Esto es muy fácil de comprobar ya que $\mathbb{Z}_2$ sólo tiene $2$ elementos.

Por supuesto, si usted fuera a factorizar, digamos, un grado $6$ polinomio y lo convirtió en un cuadrático y un cuártico, tendría que repetir todo el proceso anterior en el cuártico para verificar su irreducibilidad: el cómodo test de irreducibilidad "¿tiene raíces?" sólo funciona para cuadráticos y cúbicos (error muy común, ¡no caigas en la trampa!).

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$^\dagger$ Enumerar los polinomios irreducibles mónicos de grado $\leq 5$ en $\mathbb{Z}_2$ se discute aquí .

$^\ddagger$ Tengo una pista aquí si lo desea.

Answer 2

Sus dos factores son irreductibles. Un polinomio, sobre un campo $k$ cuyo grado es $2$ o $3$ es irreducible si y sólo si no tiene raíces en $k$ . Ese es claramente el caso aquí.

Answer 3

Me alegra ver que reconoce la importancia de los ejemplos de trabajo en este campo. Puede que lo siguiente le resulte útil o, como mínimo, interesante:

1. Sobre el campo $\Bbb F_p$ con $p$ elementos, el grado $n$ extensión $\Bbb F_{p^n}$ consiste exactamente en las raíces de $X^{p^n}-X$ . Estas raíces se dividen en subconjuntos correspondientes a los distintos $\Bbb F_p$ -factores irreductibles de $X^{p^n}-X$ . Los únicos grados de tales factores son los divisores $d$ de $n$ . En consecuencia, tenemos $$ X^{p^n}-X=\prod_ff(X)\,, $$ donde el índice $f$ recorre el monic $\Bbb F_p$ -polinomios irreducibles de grado dividido $n$ .

2. En consecuencia, si $N(d)$ es el número de polinomios irreducibles mónicos sobre $\Bbb F_p$ de grado $d$ tenemos $$ p^n=\sum_{d|n}dN(d)\,. $$

3. Utilizando la inversión de Möbius obtenemos $$ N(n)=\frac1n\sum_{d|n}\mu(d)p^{n/d}\,. $$ Por ejemplo, para contar los irreducibles sobre el campo con dos elementos, hay dos lineales, un cuadrático, dos cúbicos, tres cuarticos, seis quinticos, nueve sexticos, etc. En realidad encontrar es otra historia.