Un subconjunto de un conjunto finito es finito

Question

Ví este problema en un libro y la solución dada, y pensé en una solución más simple. Esto me hace dudar de su validez. Si alguien pudiera señalar por qué mi solución es incorrecta, lo apreciaría.

Primero, supongamos que $|S|=1$ y $T\subset S$. Entonces $T=\emptyset$ o $S$. Por lo tanto, es finito. Supongamos que si $|S|=n$ y si $T\subset S$ entonces $T$ es finito. Ahora dejemos que $|S|=n+1$ y $T\subset S$. Si $T=S$ entonces ciertamente es finito. Si no, $\exists a\in S$ tal que $a\notin T$. Entonces $T\subset S\setminus${$a$}. $|S\setminus${$a$}$|=n$ (lo cual he demostrado en un ejemplo anterior). Entonces por la hipótesis de inducción $T$ es finito.

Answer 1

Supongo que la demostración de tu libro es más complicada por una o más de las siguientes razones:

1. No se ha definido aún la cardinalidad
2. Tu libro está utilizando una definición de finitud que requiere más trabajo que esto
3. Los autores tienen la intención de abordar más adelante la teoría de conjuntos constructivos en la que el resultado puede fallar para las definiciones habituales de finitud (!), y la forma en que se escriba el resultado se usará para resaltar esto
4. Los autores escribieron una demostración peor

Si ya conoces todos los hechos relevantes sobre la cardinalidad y tienes una definición de finitud expresada en términos de cardinalidad, entonces estás listo para continuar.