En el libro Medida e Intrínseca - Wheeden, Zygmund (p.57), vi el teorema de Egorove y su demostración. Me quedé perplejo con los enunciados del teorema de Egorove, y con un lema necesario en la demostración del teorema, tal y como lo describen los autores. Proceden de la siguiente manera:
(4.17) Teorema de Egorove: Supongamos que $\{f_k\}$ es una secuencia de funciones medibles que convergen a.e. en un conjunto $E$ a un límite finito $f$ . Entonces, dado $\epsilon>0$ existe un subconjunto cerrado $F$ de $E$ tal que $|E-F|<\epsilon$ y $\{f_k\}$ converge uniformemente a $f$ en $F$ .
Antes de demostrar este teorema, los autores demuestran el siguiente lema.
(4.18) Lema: Con la misma hipótesis que en el teorema de Egorove, dado $\epsilon,\eta>0$ existe un subconjunto cerrado $F$ de $E$ y un número entero $K$ tal que $|E-F|<\eta$ y $|f_k(x)-f(x)|<\epsilon$ para $x\in F$ y $k>K$ .
Teniendo en cuenta los enunciados del Lemma 4.18 y del Teorema 4.17, he llegado a la siguiente pregunta que no puedo resolver.
Pregunta: ¿No es cierto que el enunciado del Lemma dice exactamente que $\{f_k\}$ converge uniformemente a $f$ en $E-F$ ? Si la respuesta es afirmativa, ¿por qué los autores intentan demostrar el teorema de Egorove después de demostrar el lema? Si no, ¿cuál es la diferencia entre los enunciados del Lemma y del Teorema?
