Definiciones equivalentes de las condiciones de no degeneración

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, $V,W$ sean dos espacios vectoriales sobre $k$ y $\beta : V \times W \to k$ sea una forma bilineal.

Siempre he visto la no-degeneración para $\beta$ en $V$ se ha dicho de la siguiente manera : $$\forall \,v \in V\setminus\{0\}\,\,,\,\, \exists w \in W \,\,,\,\, \beta(v,w)\neq 0. $$

Mientras leía el libro de Kock "Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories" leí la siguiente definición.

Si escribimos $\bar\beta : V \otimes W \to k$ para el mapa lineal correspondiente, entonces $\bar\beta$ es no degenerado sobre $V$ si existe algún mapa lineal $\gamma : k \to W \otimes V$ tal que el mapa $$ V = V\otimes k \xrightarrow{\text{$ id_V\otimes\gamma $}} V \otimes W \otimes V \xrightarrow{\beta\otimes id_V} k \otimes V = V $$ es la identidad de $V$ .

Mi pregunta es: ¿son equivalentes estas dos definiciones?

Ya he demostrado que lo segundo implica lo primero, pero estoy completamente atascado cuando intento hacer lo contrario.

Answer 1

No, no son equivalentes. La segunda definición es equivalente a la condición de que el mapa $V \ni v \mapsto \beta(v, -) \in W^{\ast}$ es un isomorfismo (equivalentemente, que el mapa $W \ni w \mapsto \beta(-, w) \in V^{\ast}$ es un isomorfismo). La primera definición sólo establece que el primer mapa es inyectivo; en particular, no implica que $V, W$ son de dimensión finita.