Realización entre SVD y EVD

Question

Dada la descomposición SVD $ A=V\Sigma U^T $ (U y V son ortonormales y $ \Sigma $ es una matriz diagonal), quiero demostrar que $ AA^T=U\Sigma \Sigma ^TU^T $ es la descomposición EVD de $ AA^T $ (lo mismo ocurre con $ A^TA=V^T \Sigma ^T \Sigma V $ ).

Es fácil ver que efectivamente $ AA^T=U\Sigma \Sigma ^TU $ . Pero no entiendo por qué los valores en $ \Sigma \Sigma ^T $ de la diagonal son $ AA^T $ de los valores propios.

Answer 1

Has olvidado una transposición: $A A^T = U \Sigma \Sigma^T U^T$ . Dicho esto, recordemos que por suposición $U^T = U^{-1}$ . Ahora puedes ver por sustitución directa que las columnas de $U$ son los vectores propios de $A A^T$ y que los valores propios son las entradas diagonales de $\Sigma \Sigma^T$ . Desde un punto de vista más algebraico, si se puede transformar por similitud una matriz (cuadrada) en forma diagonal, entonces las entradas diagonales de esa matriz diagonal deben ser sus valores propios.

La situación es ligeramente diferente para el SVD "económico", pero sigue siendo esencialmente la misma.

Answer 2

Las matrices del producto $\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}$ y $\mathbf{A} \mathbf{A}^{*}$ son simétricos. Las matrices simétricas pueden ser diagonalizadas por matrices unitarias. Los vectores columna de las matrices unitarias son los vectores propios. La matriz diagonal está compuesta por los valores propios.