¿Dónde está el $(\ell + x)^2\dot\theta^2$ en el lagrangiano de un péndulo de muelle?

Question

Estoy leyendo algunas notas sobre la mecánica lagrangiana . No entiendo la ecuación 6.9, que da el Lagrangiano para un péndulo de resorte (una partícula masiva en un extremo un resorte).

$$T = \frac{1}{2}m\Bigl(\dot{x}^2 + (\ell + x)^2\dot{\theta}^2\Bigr)\tag{6.9}$$

No entiendo dónde está el componente $(\ell + x)^2\dot{\theta}^2$ viene. Si decimos que el $x$ -es radial y $y$ es tangencial, por lo que tenemos según esto $\vec{v}^2 = v_{x}^2 + v_{y}^2$ entonces $y = (\ell + x)\sin\theta$ por aproximación de ángulos pequeños tenemos $y = (\ell + x)\theta$ pero si elegimos este sistema de coordenadas entonces $V(x,y)$ ¡La ecuación no tiene sentido específicamente el potencial de la gravedad! Si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto sería bueno.

Answer 1

Velocidades en la parte cinética del Lagrangiano

La variable $\;x\;$ que representa el desplazamiento de la cuerda desde su posición de reposo, se ha sustituido por la variable $\;s\;$ para no confundirse con la coordenada $\;x\;$ de un sistema cartesiano.

La velocidad de la partícula $\:\mathbf{v}\:$ se analiza de la siguiente manera

\begin{equation} \mathbf{v}=\mathbf{v}_{s}+\mathbf{v}_{\theta} \tag{01} \end{equation}

donde $\:\mathbf{v}_{s}\:$ el componente a lo largo de la línea de cuerda y $\:\mathbf{v}_{\theta}\:$ que normal a ella.

Ahora, \begin{equation} v_{s}=\dfrac{d\left(\ell+s\right)}{dt}=\underbrace{\dot\ell}_{=0}+\dot{s}=\dot{s} \tag{02} \end{equation}

\begin{equation} v_{\theta}=\left(\ell+s\right)\omega =\left(\ell+s\right) \dfrac{d\theta}{dt}=\left(\ell+s\right)\dot{\theta} \tag{03} \end{equation}

\begin{equation} v^{2}=v_{s}^2 + v_{\theta}^2=\dot{s}^2 + (\ell + s)^2\dot{\theta}^2 \tag{04} \end{equation}

Answer 2

No estoy seguro de por qué estás hablando de un $x$ y $y$ de la velocidad cuando se trabaja en un sistema de coordenadas polares. Quizás estés confundiendo $x(t)$ (la extensión del muelle en función del tiempo) con la coordenada cartesiana $x$ . Son cosas muy diferentes. Para entender cuál es la componente radial de la velocidad, supongamos que el péndulo no está oscilando ( $\dot{\theta}=0$ ). En este caso se sabe que la velocidad de la masa es $$\frac{d}{dt}(\ell+x)=\dot{x}$$ desde $\ell$ es una constante. Esto da la componente radial de la energía cinética $$T_{r}=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$$

Supongamos ahora que el péndulo oscila pero no hay movimiento radial ( $\dot{x}=0$ ). Sabemos que la energía cinética de un objeto en movimiento circular es $$T_{\theta}=\frac{1}{2}mv^2$$ donde $v$ es la velocidad tangencial del objeto y $m$ es su masa. En este caso, sabemos que la velocidad tangencial es $$v=\dot{\theta}r$$ donde $r$ es el radio del círculo trazado por la trayectoria del objeto. Como estamos considerando el caso con $\dot{x}=0$ tenemos un radio constante bien definido dado por $r=\ell+x$ . Esto da la energía cinética radial $$T_{\theta}=\frac{1}{2}m\dot{\theta}^2(\ell+x)^2$$ Lo importante es que esta relación de energía cinética se mantiene incluso con un radio cambiante. El Lagrangiano es una función del tiempo de todos modos (aunque no explícitamente en este caso), así que esto no es un problema. Entonces puedes tomar la componente cinética del Lagrangiano como la suma de estas relaciones de energía cinética para dar $$L=\frac{1}{2}m\Bigl(\dot{x}^2 + (\ell + x)^2\dot{\theta}^2\Bigr)-V$$

Answer 3

En general se puede escribir la energía cinética de una partícula libre como

\begin{equation} T = \frac{1}{2} m \,\vec{v}\cdot\vec{v} \end{equation}

que se mantiene en cualquier sistema de coordenadas que se elija (¿podría una cantidad física como la trayectoria de una partícula depender del sistema de coordenadas que se elija?)

Podemos reescribir esto: \begin{equation} T = \frac{1}{2} m \,\vec{v}\cdot\vec{v} = m/2 \sum_{\mu ,\nu} v_{\mu}v_{\nu}\left( \vec{e}_\mu \cdot \vec{e}_\nu\right) \end{equation} donde $\vec{e}_\mu$ es el $\mu^{th}$ vector base. En particular, recordando que en coordenadas polares $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_r= 1$ , $\vec{e}_r \cdot \vec{e}_\theta= 0$ y $\vec{e}_\theta \cdot \vec{e}_\theta = r^2$ lo consigues: \begin{equation} T= m/2 \left( v_r^2 +r^2 v_\theta^2\right) \end{equation} que es su expresión si llama al $r$ coordenadas $x$ y el $\theta$ coordenadas $y$ y se hace una traslación radial del origen de su sistema de coordenadas de una cantidad $l$ para centrarlo correctamente.