Cómo calcular el siguiente límite: $$\lim_{n\to\infty}n\int_0^1 nx^{n-1}\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)\mathrm dx.$$
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Bhubhu Hbuhdbus
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Utilice la sustitución $x^n=t$ . $$n\int_0^1 nx^{n-1}\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)\,dx=n\int_0^1 \left(\frac{1}{1+t^{1/n}}-\frac{1}{2}\right)\,dt$$ $$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} n\int_0^1 \left(\frac{1}{1+t^{1/n}}-\frac{1}{2}\right)\,dt=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\displaystyle \int_0^1 \left(\dfrac{1}{1+t^{h}}-\frac{1}{2}\right)\,dt}{h}$$ Usa la regla de L'Hopital y la regla de Leibniz para obtener: $$\lim_{h\rightarrow 0}\int_0^1 \frac{-t^h\ln t}{(1+t^h)^2}\,dt=-\frac{1}{4}\int_0^1\ln t \,dt=\boxed{\dfrac{1}{4}}$$
Andy
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Mi intuición en esta situación es integrar por partes, ya que podemos utilizarla para deshacernos del factor de $n$ que no nos gusta. Por lo tanto, utilice $u=\frac{1}{1+x}-1/2$ y $dv=nx^{n-1} dx$ entonces los términos de frontera se cancelarán (¡compruébalo!) y nos quedaremos con
$$n \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} dx$$
Introduciendo un factor de $n+1$ por comodidad, tenemos
$$\frac{n}{n+1} \int_0^1 \frac{(n+1) x^n}{(1+x)^2} dx$$
Volvemos a integrar por partes, con una sustitución similar a la anterior. Obtenemos
$$\frac{n}{n+1} \left ( 1/4 - \int_0^1 \frac{-2 x^{n+1}}{(1+x)^3} dx \right )$$
(Compruebe usted mismo el término límite). No es difícil demostrar, comparando con la integral de $2x^{n+1}$ que esta última integral va a cero como $n \to \infty$ y $\frac{n}{n+1} \to 1$ como $n \to \infty$ por lo que el límite deseado es $1/4$ .
Si usted está en o ha tomado el análisis real, entonces creo que es un ejercicio instructivo con la convergencia uniforme para mostrar que si usted reemplaza $\frac{1}{1+x}-1/2$ con cualquier función continua $f$ para que $f(1)=0$ y $f'(1)$ existe, el límite será $-f'(1)$ . (Así que, aunque el ejemplo parezca raro y complicado, es en cierto sentido "natural"). Si esto es realmente para el cálculo, como sugieren las etiquetas, entonces por favor, no tenga en cuenta este comentario.
Felix Marin
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\begin{align}\color{#c00000}{\lim_{n \to \infty}\bracks{% n\int_{0}^{1}nx^{n - 1}\pars{{1 \over 1 + x} - \half}\,\dd x}} =\lim_{n \to \infty}\bracks{% n^{2}\color{#00f}{\int_{0}^{1}{x^{n - 1} \over 1 + x}\,\dd x} - \half\,n} \tag{1} \end{align}
\begin{align}&\color{#00f}{\int_{0}^{1}{x^{n - 1} \over 1 + x}\,\dd x} =\int_{0}^{1}{1 \over 1 + x}\,\dd x - \int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 + x} \,\dd x \\[3mm]&=\ln\pars{2} -\pars{\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 + x}\,\dd x +\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x}\,\dd x} +\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&=\ln\pars{2} -2\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x^{2}}\,\dd x +\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&=\ln\pars{2} -2\int_{0}^{1}{1 - x^{\pars{n - 1}/2} \over 1 - x}\,\half\,x^{-1/2}\,\dd x +\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&=\ln\pars{2} +\int_{0}^{1}{1 - x^{-1/2} \over 1 - x}\,\dd x -\int_{0}^{1}{1 - x^{n/2 - 1} \over 1 - x}\,\dd x +\int_{0}^{1}{1 - x^{n - 1} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&=\ln\pars{2} + \bracks{\Psi\pars{\half} + \gamma} -\bracks{\Psi\pars{n \over 2} + \gamma} +\bracks{\Psi\pars{n} + \gamma} \end{align} donde utilizamos el identidad ${\bf\mbox{6.3.22}}$ .
Con la identidad ${\bf\mbox{6.3.3}}$ encontramos: $$ \color{#00f}{\int_{0}^{1}{x^{n - 1} \over 1 + x}\,\dd x} =-\ln\pars{2} - \Psi\pars{n \over 2} +\Psi\pars{n} $$
Con la Expansión asintótica Digamma ${\bf\mbox{6.3.18}}$ la última expresión se reduce a: \begin{align}&\left.\color{#00f}{\int_{0}^{1}{x^{n - 1} \over 1 + x} \,\dd x\,}\right\vert_{n\ \gg 1} \\[3mm]&=-\ln\pars{2} - \bracks{\ln\pars{n \over 2} - {1 \over n} - {1 \over 3n^{2}}} + \bracks{\ln\pars{n} - {1 \over 2n} - {1 \over 12n^{2}}} + {\rm O}\pars{1 \over n^{4}} \\[3mm]&={1 \over 2n} + \color{#c00000}{\large{1 \over 4}}\,{1 \over n^{2}} + {\rm O}\pars{1 \over n^{4}} \end{align}
tal que ( véase la expresión $\pars{1}$ ): $$\color{#66f}{\large% \lim_{n \to \infty}\bracks{% n\int_{0}^{1}nx^{n - 1}\pars{{1 \over 1+x} - \half}\,\dd x}} =\color{#66f}{\large{1 \over 4}} $$
La integral es igual a (mediante Mathematica):
$$I(n)=\int_0^1 nx^{n-1}\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)\mathrm dx.=(1/2)\left(-1 - n\psi( n/2) + n\psi((1 + n)/2)\right)$$
Dónde $\psi(z):=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ es la función PolyGamma.
El límite es igual a (mediante Mathematica):
$$\lim_{n\to\infty} n I(n)=\frac{1}{4}$$
-mike
