¿Cómo encontrar las asíntotas de una función implícita?

Question

Cómo encontrar las asíntotas de la función implícita $$8x^3+y^3-6xy-3=0?$$

Answer 1

Las asíntotas de una curva algebraica son simplemente las líneas que son tangentes a la curva en el infinito, así que vamos a hacer ese cálculo.

En primer lugar, encontramos donde su curva se encuentra con la línea en el infinito. Homogeneizamos a $(X:Y:Z)$ coordenadas, de modo que $(x,y) = (X:Y:1)$ . La ecuación es ahora

$$8X^3+Y^3−6XYZ−3Z^3=0$$

y la línea en el infinito es la línea $Z=0$ . Introduciendo esto y resolviendo sobre los reales

$$ 8X^3 + Y^3 = 0 \\ Y = -2X$$

así que $(1:-2:0)$ es el único punto proyectivo (real) donde la curva se encuentra con el infinito. (Habrá dos complejo asíntotas también, pero no podemos verlas si sólo miramos la geometría con coordenadas reales)

Para encontrar la recta tangente, observamos que la diferencial de la recta tangente es la misma que la diferencial de la curva (más o menos porque las rectas tangentes tienen que apuntar en la misma dirección). Así que tomamos la derivada:

$$ (24X^2 - 6YZ) dX + (3Y^2 - 6XZ) dY - (6XY + 9Z^2) dZ $$

y evaluar en $(1:-2:0)$ para conseguir

$$ 24 dX + 12 dY + 12 dZ$$

y por lo tanto la línea tangente debe estar dada por la ecuación

$$ 24 X + 12 Y + 12 Z = 0 $$

o, deshomogeneizar:

$$ 24x + 12y + 12 = 0 \\ y = -1 - 2x $$

Este es, por supuesto, el mismo cálculo que en la otra respuesta pero si estás familiarizado con la geometría proyectiva (o estás dispuesto a estudiar por tu cuenta cómo funciona), explica cómo funciona el cálculo.

Answer 2

El artículo en el que tienes que poner los ojos a fondo es este Asíntota: Curvas algebraicas . Así que, hagámoslo paso a paso

1) Divide tu polinomio en homogéneos \begin{align} P_3(x,y) &= 8x^3+y^3 \\ P_2(x,y) &= -6xy \\ P_0 &= -3 \end{align} $$ f(x,y) = 8x^3+y^3-6xy-3 = P_3(x,y) + P_2(x,y) + P_0 = 0 $$ 2) Tratar de descomponer $P_3(x,y) = Q(x,y)$ a la forma de $(ax-by)Q_2(x,y)$ , donde $Q_2$ es otro polinomio homogéneo. En este caso particular es bastante fácil de hacer, ya que $$ P_3(x,y) = 8x^3+y^3 = (2x+y)\left( 4x^2-2xy+y^2\right ) $$ así que $a = 2$ y $b = -1$ .

3) Encuentre los valores de $Q_x'(b,a)$ y $Q_y'(b,a)$ \begin{align} Q_x'(b,a) &= \left . 24x^2 \right |_{x = -1} = 24 \\ Q_y'(b,a) &= \left . 3y^2 \right |_{y = 2} = 12 \end{align} por lo que no se desvanecen simultáneamente, y por lo tanto $$ Q_x'(b,a) x + Q_y'(b,a) y + P_2(b,a) = 24 x + 12 y + 12 = 0 $$ es una asíntota. Esto último puede simplificarse como $$ y = -2x - 1 $$ Para asegurarte de ello, puedes dibujar la trama de esa expresión.

PD: En realidad hay varios gráficos, como demostración de que la asíntota no depende de $P_0 = 3$ puede ser $0$ o $100$ .

Answer 3

He visto que estás interesado en hacer problemas por Maple así que, los siguientes códigos pueden ayudarte maquinalmente:

[> f:=8*x^3+y^3-6*x*y-3:
   t := solve(f = 0, y):
   m := floor(limit(t[1]/x, x = -infinity));

$$\color{blue}{m=-2}$$

[> h:=floor(limit(t[1]-m*x, x = -infinity));

$$\color{blue}{h=-1}$$