Infimum como medida exterior

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto, $A$ un álgebra sobre $X$ y $\mu$ una medida finita sobre $A$ . Para $C \in P(X)$ , dejemos que $\mu^*(C) = $ inf $\{\sum \mu(C_k) | C \subset \cup C_k, C_k \in A\}$ .

¿Por qué es $\mu^*(C) $ ¿una medida exterior?

( $\mu(\emptyset) = 0$ está claro).

Answer 1

En esta respuesta $\mathcal A$ denota el álgebra.

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Dejemos que $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$ .

Nuestro objetivo es demostrar que $\mu^{*}\left(A\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}\left(A_{n}\right)$ .

Si $\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}\left(A_{n}\right)=\infty$ entonces estamos listos, así que asumamos ahora que $\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}\left(A_{n}\right)<\infty$ .

Dejemos que $\epsilon>0$ y para cada $n$ encontrar una colección contable $\mathcal{C}_{n}\subseteq\mathcal{A}$ tal que $A_{n}\subseteq\bigcup_{C\in\mathcal{C}_{n}}C$ y $\sum_{C\in\mathcal{C}_{n}}\mu C\leq\mu^{*}\left(A_{n}\right)+\epsilon2^{-n}$ .

Ahora dejemos que $\mathcal{C}$ denotan la unión de las colecciones $\mathcal{C}_{n}$ .

Entonces $\mathcal{C}$ es contable con $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}$ y $A\subseteq\bigcup_{C\in\mathcal{C}}C$ para que..: $$\mu^{*}A\leq\sum_{C\in\mathcal{C}_{n}}\mu C=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{C\in\mathcal{C}_{n}}\mu C\leq\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mu^{*}\left(A_{n}\right)+\epsilon2^{-n}\right)=\epsilon+\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}\left(A_{n}\right)$$

Esto puede hacerse para cada $\epsilon>0$ por lo que finalmente concluimos que: $$\mu^{*}A\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{*}\left(A_{n}\right)$$