¿Qué podemos decir sobre el tamaño de $HK\cap KH$ al $HK\neq KH$?

Question

Si $G$ es un grupo finito, y $H$, $K$ son propias de los subgrupos de $G$, entonces no es necesario que $HK=KH$. Pero, estos dos subconjuntos tienen el mismo tamaño. La pregunta que me gustaría hacer, entonces, es

Si $HK\neq KH$, entonces, ¿qué podemos decir sobre el tamaño de $HK\cap KH$?

(Tenga en cuenta que $H\cup K\subseteq HK\cap KH$.)

Answer 1

Sería útil para conectar $M=HK\cap KH$$N=H\cap K$. Evidentemente, $M$ es un (discontinuo) de la unión de doble cosets $NxN, x\in M$. Por [M. Hall, La Teoría de Grupos, Teorema 1.7.1] $$ |NxN|=\frac{|N|^2}{|N\cap x^{-1}Nx|}. $$ Así, por ejemplo, si $p||N|$ ($p$ es primo), a continuación,$p||M|$.