Intento demostrar la siguiente afirmación:
En un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ , si $\{u,v,w\}$ es una base para $V$ entonces $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ también es una base.
$$\underline{\text{My proof}}$$
Supongamos que $\{u,v,w\}$ es una base para $V$ . Tenemos que demostrar que $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ es linealmente independiente y abarca $V$ .
Ahora bien, como $\{u,v,w\}$ es una base, es linealmente independiente, por lo que la única solución a $\alpha u+\beta v+\gamma w=0$ es la solución trivial $\alpha=\beta=\gamma=0.$ Además, $\{u,v,w\}$ abarca $V$ Así que, para todos $v_i \in V,$ tenemos $$v_i=au+bv+cw$$ para algunos $a,b,c \in \mathbb{F}.$
Prueba de que $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ es linealmente independiente: Supongamos que $\delta(u+v)+\varepsilon(u+v+w)+\zeta(v+w)=0.$ Entonces tenemos $$(\delta+\varepsilon)u+(\delta+\varepsilon+\zeta)v+(\varepsilon+\zeta)w=0.$$
Pero acabamos de demostrar que $\alpha u+\beta v+\gamma w=0 \implies \alpha=\beta=\gamma=0$ Por lo tanto, si tomamos $$\alpha=\delta+\varepsilon, \beta=\delta+\varepsilon+\zeta, \gamma=\varepsilon+\zeta,$$ entonces tenemos $$\begin{cases} \delta+\varepsilon=0 \\ \delta+\varepsilon+\zeta=0 \\ \varepsilon+\zeta=0\end{cases} \quad ,$$ cuya única solución es $\delta=\varepsilon=\zeta=0,$ por lo que $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ es linealmente independiente.
Ahora tenemos que demostrar que cualquier $v_i$ puede escribirse como una combinación lineal de $u+w, u+v+w, v+w.$
Dejemos que $a,b,c \in \mathbb{F}.$ Si podemos demostrar que $$x_1(u+v)+x_2(u+v+w)+x_3(v+w)=au+bv+cw$$ tiene una solución (para $x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{F}$ entonces se deduce inmediatamente que $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ abarca $V$ .
Prueba de que $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ abarca $V$ : Ahora, $$x_1(u+v)+x_2(u+v+w)+x_3(v+w)=au+bv+cw \\ \ \\\iff (x_1+x_2)u+(x_1+x_2+x_3)v+(x_2+x_3)w=au+bv+cw \\ \ \\ \iff \begin{cases} x_1+x_2=a \\ x_1+x_2+x_3=b \\ x_2+x_3=c\end{cases}$$
Por sustitución (un ejercicio trivial, cuyos pasos he omitido), obtenemos $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b-c \\ a-b+c \\ b-a\end{bmatrix} \quad ,$$ por lo que cada $v_i \in V$ puede escribirse de la forma $x_1(u+v)+x_2(u+v+w)+ x_3(v+w)$ Por lo tanto $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ abarca $V$ .
Desde $\{u+v, u+v+w, v+w\}$ es linealmente independiente y abarca $V$ es una base para $V$ . $\square$ Nota: quizás se pregunte: ¿por qué se $b-c, \quad a-b+c, \quad b-a \in \mathbb{F}$ ? Respuesta: Desde $\mathbb{F}$ es un campo, es cerrado bajo adición y sustracción, y $a,b,c$ fueron elegido para estar en $\mathbb{F}.$
Pregunta:
¿Esta prueba es correcta? ¿Se puede acortar?
Gracias.
