La región sobre la que la densidad es positiva consiste en el conjunto de todos los $(x,y) \in \mathbb R^2$ tal que: $$\begin{align*} 0 < x &< 1 \\ 0 < y &< 1 \\ x + y &< 1. \end{align*}$$ Es decir, es el triángulo en el plano de coordenadas cartesianas con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ que podemos ver si simplemente trazamos las líneas $$x = 0, \quad x = 1, \quad y = 0, \quad y = 1, \quad x + y = 1.$$
Por tanto, para integrar la densidad en esta región, primero elegimos un orden de integración adecuado. La simetría de la región indica que no importa si integramos primero con respecto a $x$ o a $y$ . Si primero integramos con respecto a $y$ entonces el interior integral es con respecto a $y$ y la integral exterior es con respecto a $x$ . La integral exterior abarca entonces los valores de $x$ que contienen algún punto de la región triangular; así $0 \le x \le 1$ . Para un valor fijo de $x$ en esta región (piense en dibujar una línea vertical en algún lugar entre $x = 0$ y $x = 1$ ), el rango de $y$ consiste en que $y$ -valores en la región que se cruzan con esa línea. Así, el rango de $y$ debe ser $$0 \le y \le 1-x.$$ Esto establece que la integral adecuada es $$\int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{1-x} f(x,y) \, dy \, dx.$$ Si cambias el orden de integración, obtienes la solución que has citado.
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