¿El coproducto de los espectros fibrantes vuelve a ser fibrante?

Question

Definir un $S^{1}$ -espectro $E$ para ser una secuencia de conjuntos simpliciales puntuales $E_{n},\\ n=0,1,2...$ con morfismos de montaje $\sigma_{n}:S^{1}\wedge E_{n}\rightarrow E_{n+1}$ . Un $S^{1}$ -espectro $E$ se llama ahora $\textit{fibrant}$ si todos los conjuntos simpliciales $E_{n}$ son Kan-fibrantes y el adjunto $E_{n}\rightarrow\Omega (E_{n+1})$ de $\sigma_{n}$ es una equivalencia débil simplicial. Mi pregunta es ahora si el coproducto $\vee {E_{i}}$ de los espectros fibrantes $E_{i}$ ¿es fibrante de nuevo?

Gracias

Answer 1

No. Aquí hay dos razones:

• El coproducto de dos complejos Kan puntuales no suele ser un complejo Kan (por ejemplo, si los espacios son conexos): podemos mapear $\Lambda^2_1$ en "ambos sumandos" y el mapa no se extenderá a $\Delta^2$ .
• El functor $\Omega$ básicamente nunca conmutará con sumas de cuñas (incluso hasta la homotopía). Por ejemplo, hay un $\Omega$ -espectro $E = H\mathbb{F}\_2$ con $E\_0 = \mathbb{F}\_2$ y $E\_1 = K(\mathbb{F}\_2, 1)$ Así que $\pi\_0(E\_0 \vee E\_0)$ es un conjunto de tres elementos pero $\pi\_0(\Omega(E\_1 \vee E\_1))$ es el coproducto de $\mathbb{F}\_2$ con ella misma en la categoría de grupos, que es el grupo diédrico infinito $D\_\infty$ .