Resolver la ecuación logarítmica $\log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0$

Question

Encuentre $x$ de la ecuación logarítmica: $$\log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0 $$ Así es como lo intenté: $$x^2-8x+16>0$$ $$ (x-4)^2>0 \implies x \not = 4$$ entonces $$\log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq \log_{\frac{x}{5}}(\frac{x}{5})^0 $$ por la base $\frac{x}{5}$ asumimos que $x \not\in (-5,5)$ entonces $$x^2-8x+16 \geq 1$$ $$ (x-3)(x-5) \geq 0 \implies$$ $$ \implies x \in {(- \infty,-5) \cup (5, \infty)} \cap x\not = 4 $$ Pero esto es un error, porque la solución correcta es $$x \in {(3,4) \cup (4,6)} $$

Siento si me he equivocado en los términos, el inglés no es mi lengua materna.

Answer 1

Dado $$\displaystyle \log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0\;,$$ Aquí la función se define cuando $\displaystyle \frac{x}{5}>0$ y $\displaystyle \frac{x}{5}\neq 1$

y $(x-4)^2>0$ . Así que obtenemos $x>0$ y $x\neq 5$ y $x\neq 4$

Si $$\displaystyle \; \bullet\; \frac{x}{5}>1\Rightarrow x>5\;,$$ Entonces $$\displaystyle \log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0\Rightarrow (x^2-8x+16)\geq 1$$

Así que obtenemos $$\displaystyle x^2-8x+15\geq 0\Rightarrow (x-3)(x-5)\geq 0$$

Así que obtenemos $x>5$

Si $$\displaystyle \; \bullet 0<\frac{x}{5}<1\Rightarrow 0<x<5\;,$$ Entonces $$\displaystyle \log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0\Rightarrow (x^2-8x+16)\leq 1$$

Así que obtenemos $$\displaystyle (x-3)(x-5)\leq 0$$

Así que $$3\leq x<5-\left\{4\right\}$$

Así que nuestra solución final es $$\displaystyle x\in \left[3,4\right)\cup \left(4,5\right)\cup \left(5,\infty\right)$$

Answer 2

Ecuación logarítmica:

$$\log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0 $$

En general:

$$\log_{f(x)}(g(x))\geq 0 $$

La solución general a esto tiene dos casos .

Caso 1: $$ f(x) \in {(0,1)} \cap g(x) \in {(0,1]} $$

Caso 2: $$ f(x) \in {(1,\infty)} \cap g(x) \in {[1,\infty)} $$

Conjunto de soluciones:

$$ \implies x \in {(CASE 1) \cup (CASE2)} $$

Esto dará el resultado deseado para que la demanda del logaritmo sea no negativa. Comenta si quieres saber cómo se dan los casos.

Solución final: $$\displaystyle x\in \left[3,4\right)\cup \left(4,5\right)\cup \left(5,\infty\right)$$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+the+inequality:+%5B%2F%2Fmath:log((x%2F5),+(x%5E2-8x%2B16))%3E%3D0%2F%2F%5D%3E%3D0%2F%2F%5D)

Answer 3

$$\log_{\frac{x}{5}}(x^2-8x+16)\geq 0$$ $$=\frac{\log{(x^2-8x+16)}}{\log\frac{x}{5}}\geq0$$ Así que $x$ es no positivo. Y ahora levantando ambos lados en la base $10$ . $$x^2-8x+16\geq1$$ $$x^2-8x+15\geq0$$ $$(x-5)(x-3)\geq0$$ $$x\geq5; \ x\geq3$$ Pero $x$ no puede ser $5$ . Así que la respuesta es $[3,5)\cup(5,\infty)$