Condición necesaria y suficiente para un punto fijo estable (relacionado con los valores propios)

Question

Estoy leyendo una nota de una conferencia y dice:

Supongamos que tenemos $$\dot{x} = Ax$$ y supongamos $\tilde{x}$ es un punto fijo. Entonces tenemos el siguiente teorema:

$\tilde{x}$ es estable si y sólo si todos los valores propios de $A$ satisfacer $\text{Re}(\lambda)\leq 0$ y siempre que $\text{Re}(\lambda) = 0$ tenemos $\dim(\mathcal{N}(\lambda I-A)) = 1$ .

Me confunde la segunda condición. $\dim(\mathcal{N}(\lambda I-A)) = 1$ sólo implica que

1. el eigespacio correspondiente a $\lambda$ es de dimensión $1$ .
2. puede ocurrir que la multiplicidad geométrica $\leq$ multiplicidad algebraica. (si se repiten las raíces de $\lambda$ )

Si $\text{Re}(\lambda) = 0$ La trayectoria de $x(t)$ es una órbita (inestable en el sistema lineal y posiblemente estable en el sistema no lineal, por ejemplo un ciclo límite estable).

No tengo ni idea de qué dice la segunda condición relacionada con la estabilidad. Quiero decir que si " $\dim(\mathcal{N}(\lambda I-A)) \geq 1$ ", ¿qué pasa?

Answer 1

Podemos suponer que $A$ consiste en un único bloque de Jordan $\lambda I + N$ con $N$ nilpotente. Entonces $\delta x(t)$ satisface $$\delta x(t) = e^{(\lambda I + N)t}\delta x(0) = e^{\lambda t} e^{Nt}\delta x(0),$$ donde $e^{Nt}$ tiene entradas polinómicas en $t$ desde $N$ es nilpotente. Supongamos que la columna $i$ de $e^{Nt}$ contiene una potencia no nula de $t$ elegir $\delta x(0) = e_i$ y ahora $\|\delta x(t)\| = \|e^{Nt}\delta x(0)\|$ crece sin límites a medida que $t\to \infty$ .