Dejemos que $f(x)$ sea continua en $[0,1]$ . Además, deja que $\int_0^1{f(x)x^n dx}=0$ para todos $n\geq 0$ . Demostrar que $\int_0^1{f^2(x)}=0$ .

Question

Dejemos que $f(x)$ sea continua en $[0,1]$ . Además, deja que $\int_0^1{f(x)x^n dx}=0$ para todos $n\geq 0$ . Demostrar que $\int_0^1{f^2(x)}=0$ .

Mi corazonada es que si $\int_0^1{f(x)x^n dx}=0$ para todos $n\geq 0$ entonces $f(x)=0$ en $[0,1]$ , lo que implicaría que $\int_0^1{f^2(x)}=0$ . Sin embargo, no sé cómo probar esto. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Primero hay que tener en cuenta que si $p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k$ es un polinomio cualquiera, entonces $\int_0^1f(x)p(x)dx=0$ , ya que $$\begin{align*} \int_0^1f(x)p(x)dx=\sum_{k=0}^na_k\int_0^1f(x)x^kdx=0. \end{align*}$$ Ahora utiliza el Teorema de Aproximación de Weierstrass. Dice que hay una secuencia de polinomios $p_n$ que converge uniformemente a $f$ en $[0,1]$ . Dado que la convergencia es uniforme, se nos permite intercambiar límite e integración, es decir $$\begin{align*} 0=\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x)p_n(x)dx=\int_0^1f(x)\left[\lim_{n\to\infty}p_n(x)\right]dx=\int_0^1f(x)^2dx. \end{align*}$$ Desde $f^2$ es continua y no negativa concluimos que $f(x)^2=0$ (y por lo tanto $f(x)=0$ ) para todos los $x\in[0,1]$ .

Answer 2

Hay algún teorema que asegura que se puede encontrar una secuencia de polinomios $f_n$ como $$\int_0^1 (f_n - f)^2 \to 0$$

A partir de esto se puede demostrar que $\int ff_n \to \int f^2$ . ¿Puedes llevarlo desde aquí?