Dejemos que $x\in \Bbb{R}^2$ . Cuál es el límite $$\lim_{x\to 0}\frac{x_1}{\Vert x \Vert}$$
¿Es realmente cero porque ; Si $x\to 0$ , entonces cada $x_i \to 0$ ¿también? ¿Necesitamos considerar $x_1 >0$ y el caso en que $x_1<0$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una pista:
Empezaría escribiendo esto en términos de dos variables $(x,y)$ : $$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}. $$
Como $(x,y)$ se acerca al origen, ¿puede ver cómo las magnitudes relativas de $x$ y $y$ ¿influye este límite? ¿Qué ocurre si nos acercamos al origen mucho más rápido en $x$ coordinar que en $y$ ¿se puede coordinar, por ejemplo? (Es decir, si $x$ es órdenes de magnitud menores que $y$ .). ¿Y si es al revés? ¿Y si $x$ y $y$ están relacionados linealmente?
Pruebe algunos caminos específicos y vea si la respuesta depende del camino que elija. Si lo hace, entonces el límite no existe.
