Buenos días a todos. Hoy tengo una pregunta que puede parecer trivial para ustedes pero como no soy de formación matemática, por favor, tengan paciencia conmigo.
La cuestión es que la desigualdad implica una función monotónicamente creciente. Permítanme aclarar.
En la demostración de la página 461 y siguientes de la sexta edición de An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy y Wright (Teorema 423) se escribe directamente la siguiente línea
$\int_{n-1}^{n}\log^h{(\frac x t)}dt \geq \log^h{(\frac x n)}$
tras indicar que la función es monotónicamente creciente ( ver este post también) -
Desde $\log t$ aumenta con $t$ tenemos, para $n > 2$ ,
También en una muy buena respuesta (pulse aquí para ver) escrito (involucrado con la desigualdad) por muy útil Markus Scheuer se menciona que -
La función de Von Mangoldt (n) sólo toma valores no negativos, por lo que \begin{align*} \sum_{mn\leq x}\Lambda(m)\Lambda(n)\tag{$\ast\ast$} \end{align*} es monotónicamente creciente con x. y entonces implica la desigualdad.
Ahora bien, esto es bastante intuitivo, y una simple observación (también tengo la prueba de un caso específico, ver esto respuesta (haga clic aquí) Pero en matemáticas, todo se demuestra rigurosamente, entonces ¿por qué se menciona casualmente en un libro sin pruebas, y la gente lo utiliza como un hecho establecido?
Podría ser el caso de que se demuestre en algún libro que desconozco, en ese caso, por favor, mencione, ¿qué libro contiene dicha demostración de respecto a la desigualdad de la función monótona?
Gracias.
