Entiendo que la derivada de una función $f$ en un punto $x=x_{0}$ se define como el límite $$f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$$ donde $\Delta x$ es un pequeño cambio en el argumento $x$ a medida que "pasamos" de $x=x_{0}$ a un punto vecino $x=x_{0}+\Delta x$ . Lo que me confunde es cómo interpretar correctamente su significado, es decir, qué hace la derivada $f'(x_{0})$ ¿realmente describir?
En Wikipedia dice que " la derivada de una función cuantifica la velocidad a la que cambia el valor de la función cuando cambiamos la entrada " (o palabras en ese sentido). Sin embargo, la función tiene un constante valor, $f(x_{0})$ en un punto determinado $x=x_{0}$ entonces, ¿cómo se puede discutir de manera significativa la tasa de cambio del valor de la función en ese punto?
¿Sería correcto interpretar la derivada de una función en un punto como una descripción de la "rapidez" con la que cambia su valor a medida que nos desplazamos desde ese punto a los puntos vecinos (infinitesimalmente cercanos)? (Así, en el ejemplo anterior, al pasar del punto $x_{0}$ a $x_{0}+\Delta x$ el valor de la función $f$ cambia por una cantidad $f'(x_{0})\Delta x$ para un cambio infinitesimal $\Delta x$ ). ¿Es entonces simplemente que el valor de la derivada en ese punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función (curva) en ese punto? (En general, la derivada de una función es a su vez una función cuyo valor en cada punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto).
