¿Tiene "toda" teoría de primer orden una extensión conservadora finitamente axiomatizable?

Question

Ahora he hecho esta pregunta en mathoverflow aquí .

---

Hay un famoso teorema (debido a Montague) que afirma que si $\sf ZFC$ es consistente, entonces no se puede axiomatizar finitamente. Sin embargo $\sf NBG$ La teoría de conjuntos es una extensión conservadora de $\sf ZFC$ que puede ser axiomatizado finitamente.

Del mismo modo, si $\sf PA$ es consistente entonces no es finitamente axiomatizable (Ryll-Nardzewski) pero tiene una extensión conservadora, $\sf ACA_0$ que es finitamente axiomatizable. (Normalmente $\sf ACA_0$ se considera una teoría de segundo orden, pero tengo entendido que no hay realmente una diferencia entre primer y segundo orden desde el punto de vista sintáctico).

Me pregunto si esto ocurre en general. Al principio pensé que podría ser que cada teoría tenía una extensión conservadora finitamente axiomatizable. Pero entonces me di cuenta de que toda teoría con una extensión conservativa finitamente axiomatizada debe ser efectivamente axiomatizable. Así que no debemos esperar que las teorías tengan extensiones conservativas finitamente axiomatizables a menos que ya sean efectivamente axiomatizables. Del mismo modo, si añadimos un número contable de constantes lógicas al lenguaje y exigimos que todas sean verdaderas, entonces eso es efectivamente axiomatizable pero no tiene una extensión conservativa finitamente axiomatizable, por lo que deberíamos restringir nuestra atención a los lenguajes finitos.

¿Tiene toda teoría de primer orden efectivamente axiomatizable sobre un lenguaje finito una extensión conservadora finitamente axiomatizable?

Answer 1

Emil Jeřábek respondió de en mathoverflow.

Extracto:

Esencialmente, sí. Un viejo resultado de Kleene 1 , más tarde reforzado por Craig y Vaught 2 muestra que toda teoría axiomatizable recursivamente en lógica de primer orden sin identidad, y toda teoría axiomatizable recursivamente en lógica de primer orden con identidad que sólo tiene modelos infinitos, tiene una extensión conservativa finitamente axiomatizada. Véase también la obra de Mihály Makkai revisar , Richard Zach's resumen y un artículo relacionado de Pakhomov y Visser [3].

Permítanme subrayar que los resultados anteriores se aplican a la definición literal de extensión conservadora, es decir, extendemos el lenguaje de $T$ por símbolos adicionales de predicado o función, y exigimos que cualquier frase del lenguaje original sea demostrable en la extensión si es demostrable en $T$ . Si flexibilizamos la definición para permitir otras clases, o la ampliación mediante una interpretación relativa, entonces cada La teoría de primer orden recursivamente axiomatizable tiene una extensión conservadora finitamente axiomatizada.*

*Hay más de una forma de demostrar esto, pero por ejemplo se deduce inmediatamente del resultado mencionado anteriormente que cualquier teoría de la e.r. con sólo modelos infinitos tiene una extensión conservadora finita: simplemente hay que dotar a la teoría dada de un nuevo tipo (sin más estructura), y de axiomas que la hagan infinita.