Encontrar el polinomio mínimo del generador del subcampo cuadrático de la extensión ciclotómica $\mathbb{Q}(\xi_{17})$

Question

Demostraré que $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ saltándome algunos pasos "triviales" para que el post sea corto. Hay un teorema que dice que Gal $(\mathbb{Q}(\xi_{17}))\cong\left(\mathbb{Z}_{17}\right)^{\times}\cong\mathbb{Z}_{16}$ . Afirmamos que $3$ es un generador del grupo multiplicativo $\left(\mathbb{Z}_{17}\right)^{\times}$ de orden $16$ Esto es lo que he demostrado.

Así, $\langle3\rangle=\left(\mathbb{Z}_{17}\right)^{\times}$ . Definimos los siguientes mapas: \begin{align*} \text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi_{17}))&\to\left(\mathbb{Z}_{17}\right)^{\times},\\ \left(\sigma_k:\xi_{17}\mapsto\xi_{17}^k\right)&\mapsto k\text{ mod }17\\ \varphi(n):3&\mapsto3^n\text{ mod }17. \end{align*} También sabemos que hay subcampos $K_d$ de $\mathbb{Q}(\xi_{17})$ tal que $[K_d:\mathbb{Q}]=d$ con $d\in\{1,2,4,8\}$ . Ahora enumeramos los subgrupos $A,B,C$ de orden $2,4,8$ respectivamente. \begin{align*} A&=\{0,8\}\\ B&=\{0,4,8,12\}\\ C&=\{0,2,4,6,8,10,12,14\}\\ \end{align*} Ahora aplicamos $\varphi$ a los tres grupos $A,B,C$ : \begin{align*} A'&=\varphi({A})=\{1,-1\}\\ B'&=\varphi({B})=\{1,-1,4,-4\}\\ C'&=\varphi({C})=\{1,-1,2,-2,4,-4,8,-8\}\\ \end{align*} Definimos \begin{align*} \tau_{A}&=\sum_{k\in A'}\xi_{17}^k\\ \tau_{B}&=\sum_{k\in B'}\xi_{17}^k\\ \tau_{C}&=\sum_{k\in C'}\xi_{17}^k. \end{align*} Los subcampos de $\mathbb{Q}(\xi_{17})$ son $\mathbb{Q}(\tau_A),\mathbb{Q}(\tau_B),\mathbb{Q}(\tau_C)$ . Los polinomios mínimos son \begin{align*} m_{\tau_Z}=\prod_{k\in G}(x-\sigma_k(\tau_{Z})) \end{align*} donde $Z\in\{A,B,C\}$ y $G$ es un conjunto de longitud $\#Z$ que sí contiene $\#Z$ elementos de $\mathbb{Z}_{16}-Z$ . Esta última frase de arriba es donde no puedo verificar lo que estoy diciendo y no lo que debe ser correcto. Calculamos: \begin{align*} m_{\tau_C}=\prod_{k\in \{3,-3\}}(x-\sigma_k(\tau_{C}))=x^2+x-4. \end{align*} Sus raíces son $\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$ y $m_{\tau_C}$ es irreducible, ya que no tiene raíces racionales (sólo habrían sido posibles los factores lineales), por lo que $K_2=\mathbb{Q}(\tau_C)=\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ .

Así que, en parte, sé lo que estoy haciendo pero en el punto en el que intento calcular los polinomios mínimos, no tengo ni idea de qué índices tomar en el producto... El polinomio mínimo lo he calculado dejando que Mathematica lo calcule a través del buscador de polinomios mínimos en Wolfram online.

Extra: Mi intento de Mathematica es el siguiente

xi = Exp[2*Pi*I/17];
sigma[t_, n_] :=t^n;
tauC = xi^1 + xi^(-1) + xi^2 + xi^(-2) + xi^4 + xi^(-4) + xi^8 + xi^9;
Product[(x - sigma[xi, i]), {i, 2}] // Expand // N // Rationalize

(0.445738 + 0.895163 I) - (1.67148 + 1.03494 I) x + x^2 

Por cierto, el polinomio mínimo de grado $6$ del generador del subcampo $K_6$ del campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\xi_{13})$ Encontré esta forma de tomar el producto de $1$ a $6$ . Sustitución de $13$ por $17$ me trae problemas. ¿Cómo es posible?

Se agradece cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Lo que parece tener problemas es lo siguiente.

Has comprobado correctamente que el gran grupo de Galois $G=Gal(K_{16}/K_1)$ es de orden $16$ y generado por $\sigma_3$ . Tiene subgrupos $$ \begin{aligned} Gal(K_{16}/K_2)&=\langle\sigma_3^2\rangle=\langle \sigma_9\rangle&=C',\\ Gal(K_{16}/K_4)&=\langle\sigma_3^4\rangle=\langle\sigma_{-4}\rangle&=B',\\ Gal(K_{16}/K_8)&=\langle\sigma_3^8\rangle=\langle\sigma_{-1}\rangle&=A'. \end{aligned} $$ Como $G$ es abeliano, todos ellos son subgrupos normales de $G$ . Se obtienen los grupos de Galois para las extensiones $K_d/K_1,d\in\{2,4,8\}$ , como grupos cocientes de $G$ . Así que $$ \begin{aligned} Gal(K_2/K_1)&=G/C',\\ Gal(K_4/K_1)&=G/B',\\ Gal(K_8/K_1)&=G/A'. \end{aligned} $$ Porque $G$ es generado por $\sigma_3$ , estos son generados por los cosets $\sigma_3C'$ , $\sigma_3B'$ y $\sigma_3A'$ respectivamente.

Por lo tanto, los polinomios mínimos buscados son $$ \begin{aligned} m_{\tau_A}(x)=\prod_{j=0}^{8-1}\left(x-\sigma_3^j(\tau_A)\right),\\ m_{\tau_B}(x)=\prod_{j=0}^{4-1}\left(x-\sigma_3^j(\tau_B)\right),&\ \text{and}\\ m_{\tau_C}(x)=\prod_{j=0}^{2-1}\left(x-\sigma_3^j(\tau_C)\right).\\ \end{aligned} $$ Se detienen los productos justo antes de alcanzar la potencia positiva más baja de $\sigma_3$ que pertenece al subgrupo correspondiente. Después de todo, los ceros de los polinomios mínimos son simples, $\tau_A$ es invariante bajo las potencias de $\sigma_3^8$ , $\tau_B$ en virtud de los poderes de $\sigma_3^4$ y $\tau_C$ ya en $\sigma_3^2$ . En otras palabras, los poderes de $\sigma_3$ en estas fórmulas de productos abarcan el grupo cociente correspondiente.

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El siguiente fragmento de Mathematica lo hace

xi = Exp[2 Pi I/17];
tau[d_, j_] := Sum[xi^(3^(d k + j)), {k, 1, 16/d}];
minpol[d_] := N[Expand[Product[x - tau[d, j], {j, 0, d - 1}]]];

Aquí $d$ debe ser un factor de $16$ para que las fórmulas tengan sentido. Mi definición de tau[d_,j_] calcula $\sigma_3^j(\tau_X)$ . Aquí $d=2$ da $X=C$ , $d=4$ da $X=B$ y $d=8$ da $X=A$ . La cuestión es que $Gal(K_d/\Bbb{Q})$ consiste en las restricciones de los poderes de $\sigma_3^j=\sigma_{3^j}$ con $j$ que van desde $0$ a $d-1$ .

El uso de $3^j$ proviene del isomorfismo $\phi:\Bbb{Z}_{16}\to Gal(K_{16}/\Bbb{Q})$ que mapea $j$ a $\phi(j)=\sigma_3^j=\sigma_{3^j}$ . Mi definición para tau[d_,j_] lo aplica al subgrupo (aditivo) $\langle d\rangle\le\Bbb{Z}_{16}, d=2,4,8$ . Obtenemos $3^j$ en lugar de $3j$ como el índice de $\sigma$ porque $\phi$ asigna una estructura aditiva a una multiplicativa. Si encuentras esto confuso, haz que Mathematica deletree tau[d,j] para varias opciones de $d\in\{2,4,8\}, j=0,1,\ldots,d-1$ y ver qué raíz decimoséptima de la unidad aparece en qué conjugado. ¡Seguro que le coges el tranquillo!

De todos modos, esto da la previsión (-4. + 0. I) + (1. + 0. I) x + x^2 como minpol[2] . Dejando que la diversión para comprobar minpol[4] y minpol[8] .