Existencia de reparametrización Lipschitz

Question

Supongamos que nos dan una trayectoria continua,

$$\gamma:[0,1]\rightarrow (X,d)\text{,}$$

en un espacio métrico $(X,d)$ . Cuando tratamos con trayectorias suficientemente diferenciables en las variedades de Riemann podemos dar una parametrización que es $l$ -Lipschitz, donde $l$ es la longitud de la trayectoria. Si tenemos que $\gamma$ tiene una longitud finita $l$ en el sentido de que $$l=\sup\left\{\sum_{i=0}^{n-1}d(\gamma(t_i),\gamma(t_{i+1}))\,|\, n\in \mathbb{N}; \forall i< n,t_i\in[0,1]\text{ and }t_i<t_{i+1};t_0=0;t_n=1\right\}$$ es finito, ¿podemos garantizar la existencia de una parametrización que haga que el camino $l$ -¿Lipschitz?

Nota: La necesidad de este resultado viene de que necesito este hecho para demostrar que ciertas secuencias de trayectoria en espacios métricos tienen propiedades agradables para obtener una trayectoria límite. Y de esta manera demostrar que los espacios métricos de trayectoria compacta son espacios métricos geodésicos.

Answer 1

Sí, todo camino rectificable puede ser parametrizado por arclength (y un camino localmente rectificable también, si se permite que el dominio del parámetro sea un intervalo no limitado).

Dejemos que $L(x)$ sea la longitud de $\gamma_{|[0,x]}$ . Es una función no decreciente de $x$ . Es constante precisamente en los intervalos en los que $\gamma$ es constante. Por lo tanto, $\gamma\circ L^{-1}$ está bien definida. Esta es la parametrización deseada.