Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y $T$ sea un operador lineal sobre $V$

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita y $T$ sea un operador lineal sobre $V$ tal que $rank(T)=rank(T^2)$ Entonces, para demostrar que el espacio nulo y el espacio de alcance de $T $ son disjuntos, es decir, el vector cero es común.

Answer 1

Dejemos que $v\in ker(T)\cap Im(T)$ . Entonces $T(v)=0$ y hay $u\in V$ tal que $T(u)=v$ . Se puede ver que $T(T(u))=T(v)=0$ Así, $u\in Ker(T^2)$ . Desde, $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, $Ker(T^2)=Ker(T)$ . Por lo tanto, $u\in Ker(T)$ y así $v=0$ , según se desee.