Tengo algunas dudas sobre si la siguiente prueba es correcta.
Dejemos que $(V,d_1)$ en $(W,d_2)$ sean espacios métricos y que $f:V\rightarrow W$ sea un mapeo desde $V$ a $W$ . También para toda secuencia convergente $(x_n)_{n\geq 1}$ en $V$ con límite $a$ la secuencia $(f(x_n))_{n\geq > 1}$ es convergente en $W$ con límite $f(a)$ .
Quiero demostrar que $f$ es continua en $x=a$ .
Sabemos que $\forall\epsilon^{'}>0\ \exists N_1\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N_1$ tal que $(x_n)\in B(a,\epsilon^{'})$ .
También, $\forall\epsilon^{'}>0\ \exists N_2\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N_2$ tal que $f(x_n)\in B(f(a),\epsilon^{'})$ .
La combinación nos da $\forall\epsilon^{'}\ \exists N\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N$ tal que $f(B(a,\epsilon^{'}))\subset B(f(a),\epsilon^{'})$
Ahora dejemos que $\epsilon>0$ se le dará. Elija $\delta=\epsilon^{'}=\epsilon$ . Ahora, para todos $x\in B(a,\delta)=B(a,\epsilon^{'})$ sabemos que $f(x)\in B(f(a),\epsilon^{'})=B(f(a),\epsilon)$ . Así que $f(B(a,\delta))\subset B(f(a),\epsilon)$ . Así que $f$ es continua.
No sé si puedo afirmar esto, porque ambas secuencias dependen de un $N$ . Hace $x$ tiene que ser un elemento de $(x_n)$ porque entonces no se cumple para todos $\in V$ ¿verdad?