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Probar que un mapeo entre espacios métricos es convergente si tiene una secuencia convergente y su imagen es convergente.

Tengo algunas dudas sobre si la siguiente prueba es correcta.

Dejemos que $(V,d_1)$ en $(W,d_2)$ sean espacios métricos y que $f:V\rightarrow W$ sea un mapeo desde $V$ a $W$ . También para toda secuencia convergente $(x_n)_{n\geq 1}$ en $V$ con límite $a$ la secuencia $(f(x_n))_{n\geq > 1}$ es convergente en $W$ con límite $f(a)$ .

Quiero demostrar que $f$ es continua en $x=a$ .

Sabemos que $\forall\epsilon^{'}>0\ \exists N_1\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N_1$ tal que $(x_n)\in B(a,\epsilon^{'})$ .
También, $\forall\epsilon^{'}>0\ \exists N_2\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N_2$ tal que $f(x_n)\in B(f(a),\epsilon^{'})$ .
La combinación nos da $\forall\epsilon^{'}\ \exists N\geq\mathbb{N}\ \forall n\geq N$ tal que $f(B(a,\epsilon^{'}))\subset B(f(a),\epsilon^{'})$

Ahora dejemos que $\epsilon>0$ se le dará. Elija $\delta=\epsilon^{'}=\epsilon$ . Ahora, para todos $x\in B(a,\delta)=B(a,\epsilon^{'})$ sabemos que $f(x)\in B(f(a),\epsilon^{'})=B(f(a),\epsilon)$ . Así que $f(B(a,\delta))\subset B(f(a),\epsilon)$ . Así que $f$ es continua.

No sé si puedo afirmar esto, porque ambas secuencias dependen de un $N$ . Hace $x$ tiene que ser un elemento de $(x_n)$ porque entonces no se cumple para todos $\in V$ ¿verdad?

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En este caso, no creo que se pueda evitar el contrapositivo. Porque dado cualquier $\varepsilon>0$ En el mejor de los casos, obtendrá un $\delta$ para una secuencia fija, pero necesitas que funcione para cualquier elemento de $B(a,\delta)$ .

Si, por el contrario, se asume que $f$ no es continua en $a$ entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para cualquier $\delta>0$ existe $x_\delta$ con $d(x_\delta,a)<\delta$ y $d(f(x_\delta),f(a))>\varepsilon$ . Tomando $\delta=1/n$ para cada $n$ encontramos $x_n\in V$ con $d(x_n,a)<1/n$ y $d(f(x_n),f(a))>\varepsilon$ . Así obtenemos una secuencia $\{x_n\}\subset V$ con $x_n\to a$ y $f(x_n)\not\to f(a)$ .

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