Mentira grupo de la ecuación de Onda de Schrödinger

Question

En Ballentine, el libro de la mecánica cuántica (en el capitulo 3), presenta a la simetría de la transformación de Galileo grupo asociado con la ecuación de Schrödinger.

Ahora el Galileo grupo, como tal, tiene 10 generadores (3 rotaciones - $L_i$ , 3 traducciones - $P_i$, 3 aumenta - $G_i$ y el tiempo de traducción - $H$). Aparte de esto, la Schrödinger solución (la probabilidad de la amplitud) es arbitraria hasta a una fase factor de ($e^{i\phi}$). Por tanto, debemos incluir uno más generador inducida por la transformación de fase. Con esto, el general Unitario de transformación,

$$ U = \sum_{i=1}^3\Big(\delta\theta_iL_i + \delta x_iP_i + \delta\lambda_iG_i +dtH\Big) + \delta\phi\mathbb{\hat1} = \sum_{i=1}^{10} \delta s_iK_i + \delta\phi\mathbb{\hat1}$$

Las relaciones de conmutación de que el grupo en conjunto puede ser dado como:

$$ [K_i,K_j] = i\sum_{n}C_{ij}^{\;\;n}K_n + ib_{ij}\mathbb{\hat1} $$.

Ahora, esta conmutación relación no tiene la estructura de álgebra de la Mentira. Ya que con la Mentira de Álgebra los elementos son cerrados bajo la conmutación. Este tiene un elemento adicional sentado con $\delta\phi\mathbb{\hat1}$.

Lo que realmente está pasando aquí ? Es esto realmente un 11-parámetro Mentira grupo ? Si es así, ¿cómo podemos convencer sobre el álgebra de los generadores ?

Answer 1

La multiplicación por una fase de la función de onda desplazamientos con el la acción de la Galilea grupo.

Siempre es posible añadir un generador, la conmutación con una Mentira álgebra generadores, para formar una Mayor Mentira de álgebra. En este caso, la mayor Mentira de álgebra se llama una extensión central de la antigua. El origen del nombre es que el añadido el generador (o generadores) conmuta con todas las de la Mentira álgebra generadores, por lo tanto pertenecen a la Mentira de álgebra del centro.

Por ejemplo, La de Heisenberg-Weyl álgebra:

$$[x, p] = i \hbar \mathbb{1}$$

es una extensión central de las dos dimensiones de la traducción de álgebra $\mathbb{R}^2$:

$$[x, p] =0$$

Si el elemento central no aparece en ninguna de conmutacion de la original Mentira álgebra generadores de la central de extensión es trivial (todos los $b_{ij}$s son cero) y el álgebra es sólo una suma directa de los dos álgebras. Este es el caso en el ejemplo específico de la extensión descrita en Ballentine del libro. Sin embargo, este no es el caso en la de Heisenberg-Weyl álgebra, donde el colector de $x$ $p$ produce el elemento central. En este caso, la central de extensión no es trivial.

Sin embargo, esta no es toda la historia todavía. Ballentine es la preparación de la fondo para la descripción de un trivial central de extensión de la Galilea grupo:

Resulta que el Galileo álgebra no se cierra en ninguno de los clásicos o de la mecánica cuántica sin un trivial central de extensión. Los corchetes de Poisson en la mecánica clásica y el colector en la mecánica cuántica de potencia y momenta no es trivial y tiene la forma:

$$[G_i, P_j] = m \delta_{ij}$$

donde: $m$ es la partícula de masa. Tenga en cuenta que el correspondiente conmutador en la Galilea de álgebra se está desvaneciendo. Este resultado se debe a V. Bargmann.

En el caso clásico, que puede ser visto fácilmente. Los corchetes de Poisson de la Noether cargos contados a partir de la partícula libre de Lagrange correspondiente a la potencia y el momenta satisfacer la anterior relación y no de Poisson-commute como en la extendió Galileo grupo de álgebra.

Por último, permítanme señalar que el elemento central es siempre representado por una unidad de la matriz en una irreductible de la representación, y la representación de la central extendida de álgebra se llama ray representación de la original de álgebra.