Intuitivamente, ¿cuál es la diferencia entre 2 términos siguientes en el lado derecho de la ley de varianza total?
$$\operatorname{Var}(Y) = \Bbb E\left[\operatorname{Var}\left(Y\mid X\right)\right] + \operatorname{Var}\left(\Bbb E[Y\mid X]\right)$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Graham Kemp
Puntos
29085
El cuadrado de una expectativa es distinto de la expectativa de un cuadrado; de eso se trata la varianza. $\mathsf {Var}(Z) = \mathsf E(Z^2)-\mathsf E(Z)^2$
Y así, la media de la variación medida por X es distinta de la variación de la media medida por X. Aunque suman la variación total por no coincidencia.
$$\begin{align} \mathsf {E}\big(\mathsf {Var} (Y\mid X)\big) ~=~& \mathsf E\big(\mathsf E(Y^2\mid X)\big)-\mathsf E\big(\mathsf E(Y\mid X)^2\big) \[1ex] ~=~& \mathsf E(Y^2)-\mathsf E\big(\mathsf E(Y\mid X)^2\big) \[2ex] \mathsf {Var}\big(\mathsf {E} (Y\mid X)\big) ~=~& \mathsf E\big(\mathsf E(Y\mid X)^2\big)-\mathsf E\big(\mathsf E(Y\mid X)\big)^2 \[1ex] ~=~& \mathsf E\big(\mathsf E(Y\mid X)^2\big)-\mathsf E(Y)^2 \[2ex] \hline \therefore ~ \mathsf {E}\big(\mathsf {Var} (Y\mid X)\big)+ \mathsf {Var}\big(\mathsf {E} (Y\mid X)\big) ~=~& \mathsf E(Y^2)-\mathsf E(Y)^2 \[1ex] ~=~& \mathsf {Var}(Y) \end{align}$$
