Esquema reducido y puntos cerrados

Question

En The Geometry of Schemes de Eisenbud y Harris, el Ejercicio I-32 le pide a uno que muestre que un esquema $X$ se reduce si y solo si cada anillo local $\mathcal{O}_{X,p}$ se reduce para puntos cerrados $p \in X$. Sin embargo, esto no parece funcionar en general, ya que $X$ puede no tener suficientes puntos cerrados. ¿Qué hipótesis adicionales sobre $X$ necesito para que tal afirmación se mantenga?

Answer 1

Existen esquemas sin punto cerrado, sí. (Liu, ejercicios 3.3.26/27)

Pero bajo algunas condiciones adicionales muy razonables - creo que la cuasi-compacidad será suficiente, si estás contento con el uso del lema de Zorn - el resultado se mantiene. Use / pruebe la existencia de un punto cerrado, y el hecho de que localizar un anillo reducido todavía le da un anillo reducido.

Answer 2

Me parece que mirar solo los puntos cerrados no es suficiente ya que no siempre son un conjunto denso de X ...

Answer 3

No creo que la cuasi-compacidad sea suficiente, para el esquema de Noether es cierto. en un esquema de noether, cada punto P tiene un punto cerrado en su cierre, por lo que ..... pero no encuentro una condición necesaria y suficiente