Maximizar $\int_0^1 x^2f(x)~\mathrm dx - \int_0^1 xf(x)^2~\mathrm dx$ entre continuos $f:[0,1]\to\Bbb R$

Question

Para una función de $f$, vamos

$$ a = \int_{0}^{1} x^2f(x) \mathrm{d}x\\ b = \int_{0}^{1} xf^2(x) \mathrm{d}x, $$

donde $f$ es una función continua de$[0,1]$$\mathbb{R}$. A continuación, encontrará $\text{max}\{a-b\}$ todos $f$.

Estoy recibiendo $\dfrac {1}{16}$. Tenga en cuenta que puede ser escrito como $\int_{0}^{1} \left({\dfrac{x^3}{4}-x(f(x)-\dfrac{x}{2})^2}\right)dx$. Supongo que es menos de $\int_{0}^{1} \dfrac{x^3}{4} dx$$\dfrac {1}{16}$.

Answer 1

Aquí es otro enfoque en el caso de que no podamos expresar la integral en la manera en que lo hizo (ver el comentario de @DanielFischer). Deje $X=C([0,1])$ $I:X\to\mathbb{R}$ ser definido por $$I(f)=\int_0^1 x^2f(x)-\int_0^1xf(x)^2$$

Tenga en cuenta que $I$ es continuamente una función derivable y $$\langle I'(f),g\rangle =\int_0^1 (x^2 g(x)-2xf(x)g(x)),\ \forall\ f,g\in X$$

Queremos encontrar a $f\in X$ tal que $$\langle I'(f),g\rangle=0,\ \forall\ g\in X$$

Por lo tanto, $$f(x)=\frac{x}{2}$$

Para comprobar que $f$ es un máximo, tenga en cuenta que $$I(f+h)=\int_0^1\left(\frac{x^3}{4}-xh(x)^2\right)$$