He tratado de ver cómo coinciden ambas definiciones de grupo formal:
Coge un anillo $ R $ un objeto de grupo en la categoría de esquemas formales sobre $ R $ viene dada entonces por dos morfemas $ e : R \rightarrow X $ , $ \mu : X \times X \rightarrow X $ .
Para $ X = \widehat{\mathbb{A}}^1_R $ esto equivale a dos morfismos de $R$ -álgebras adicas $ e : R[[x]] \rightarrow R $ y $ \mu : R[[x]] \rightarrow R[[x,y]] $ pero es fácil ver que $ \mathrm{Hom}_R(R[[x]], R) \simeq \mathrm{Nil}(R) $ , por lo que podría haber más de $1$ posible elección para $ e $ . Sin embargo, en la definición de una ley formal de grupo, la unicidad se establece entonces como $ \mu(x) = x + y + \text{higher terms} $ pero si por ejemplo $ R = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} $ , toma $ e : X \mapsto 2 $ entonces la unicidad se reduce a $ \mu(x)(2, Y) = Y, \mu(x)(X, 2) = X $ pero luego $ \mu(x) = x + y -2 $ satisface la unicidad y la asociatividad.
En el caso de $ R $ un campo, por supuesto que ya no hay ningún problema, pero he visto la definición formal de la ley de grupos establecida para $ R $ de esta manera.
Entonces, ¿requerimos que las leyes formales de grupo tengan realmente un morfismo unitario fijo?
