¿Es cierto que $\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(x) dx=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x) dx$ ?

Question

Dejemos que $f_n(x)=\dfrac{1}{1+n^2x^2};n\in \Bbb N;x\in \Bbb R$ .

¿Es cierto que $\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(x) dx=\int_0^1\lim_{n\to \infty} f_n(x) dx$ ?

$f(x)=\lim_{n\to \infty} f_n(x)=$ $$\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 &x\neq 0\end{cases}$$

Pero $\lim_{n\to \infty}\int_0^1 f_n(x) dx=\lim(\tan^{-1} nx)|_0^1=\lim \tan^{-1}(n)=\tan^{-1}(\frac{\pi}{2})\neq \int_0^1 f(x) dx$

¿Estoy en lo cierto?

Por favor, compruébalo.

Answer 1

Sí, es cierto. Tenga en cuenta que $$\lim_{n\to \infty}\int_0^1 \dfrac{1}{1+n^2x^2} dx=\lim_{n\to \infty}\left[\frac{\arctan(nx)}{n}\right]_0^1=\lim_{n\to \infty}\frac{\arctan(n)}{n}=0$$ donde en el último paso utilizamos el hecho de que $\lim_{n\to \infty}\arctan(n)=\pi/2$ . Además $$\int_0^1 f(x) dx=0$$ donde $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{1+n^2x^2}=f(x)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 &x \not= 0\end{cases}.$$