Parte real del arcoseno de una variable compleja

Question

Cómo lo demostramos: $\operatorname{Re}({\arcsin{z}}) = \frac{1}{2}(\sqrt{x^2+y^2+2x+1} -\sqrt{x^2+y^2-2x+1})$ ? Ninguna de las cosas que he intentado, incluyendo el uso de la fórmula del seno inverso, parece funcionar... Por favor, ayuda

Answer 1

Resolver la ecuación $(\cosh^2 v)^2-(x^2+y^2+1)\cosh^2 v +x^2=0\,\,$ tenemos $$\cosh ^2v=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+y^2+1)^2-4x^2}\right)$$ desde $\cosh^2 v=1+\sinh^2 v\ge 1$ .
Anotando $$\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)\right)^2=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+y^2+1)^2-4x^2}\right),$$ tenemos $$\cosh v=\frac{1}{2}\left(\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right).$$ Por lo tanto, $$\sin u=\frac{x}{\cosh v}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right),$$ que garantiza $$u=\operatorname{Re}(\arcsin (x+iy))=\arcsin \left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)\right).$$