¿Son redundantes algunas representaciones irreducibles?

Question

Soy muy nuevo en la teoría de grupos, así que es probable que esta pregunta pueda ser muy obvia.

Acabo de terminar una pregunta en la que encontramos los irreps de $D_4$ que la pregunta definió como un grupo generado por las dos matrices $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}, \ \ \epsilon = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Después de encontrar la tabla de caracteres, encontré que $D_4$ tenía 4 irreposiciones 1D (dadas a continuación) y 1 irreposiciones 2D (sólo representadas por las matrices generadas por las anteriores).

$$R_1 = \{1,1,1,1,1,1,1,1\}$$ $$R_2 = \{1,1,1,-1,-1,-1,-1,1\}$$ $$R_3 = \{1,-1,-1,1,1,-1,-1,1\}$$ $$R_4 = \{1,-1,-1,-1,-1,1,1,1\}$$ .

Mi pregunta es sobre el significado de estos 5 irreps. Me parece que el grupo puede ser completamente representado por su irrep 2D (después de todo, en mi pregunta el grupo era definido sólo por estas matrices) y que las 4 irreps 1D no aportan ninguna información adicional. Así que, en primer lugar, ¿estoy en lo cierto al afirmar que estas irreps 1D no proporcionan ninguna información adicional sobre el grupo y que éste está definido de forma única por su irrep 2D?

En segundo lugar, me confunde el vínculo entre los irreps de un grupo y su descomposición de representación. Los irreps se describen a menudo como los "bloques de construcción fundamentales", pero no estoy seguro de cómo interpretarlos exactamente aquí. ¿Se trata de que el grupo pueda ser representado por una suma directa de estos irreps, o por un producto tensorial, o por ninguno de los dos? Si es lo primero, sigue pareciendo que los irreps 1D no aportan ninguna información nueva.

(Me he dado cuenta de que los -1 en las irreflexiones 1D corresponden a las clases de conjugación de tamaño 2 de las matrices 2D que contienen 2 matrices que son -1 $\times$ entre sí, así que tal vez haya algo de información allí).

Answer 1

Aquí hay dos conceptos. El primero es en qué sentido las representaciones irreducibles son los bloques de construcción de todas las representaciones. Esto, como se menciona en los comentarios, se debe a que toda representación sobre $\mathbb C$ es isomorfo a una suma directa de representaciones irreducibles.

La segunda, a la que usted alude, es si, dada la $2$ -representación dimensional, se necesitan las otras. Lo que parece querer decir es que la $2$ -es la representación dimensional fiel , lo que significa que el homomorfismo al grupo de matrices es inyectivo. En efecto, el $2$ -es fiel, y cualquier representación fiel de $D_4$ debe tener eso $2$ -como un sumando. En ese sentido no necesita las otras representaciones para definir su grupo, y las otras representaciones no puede en el sentido de que siempre se necesita el $2$ -representación dimensional.

Un grupo finito tiene una representación fiel e irreducible si y sólo si su centro es cíclico. Así, para el grupo $C_2\times C_2$ no puedes encontrar una representación irreducible fiel, y necesitarías la suma de dos de ellas para producir una copia isomorfa de tu grupo. En general, si el centro necesita $n$ elementos para generarlo, se necesita $n$ representaciones irreducibles para ser fieles (y por supuesto, hay que elegir bien las representaciones para obtener una representación fiel).