Serie de Fourier con todos los coeficientes $\frac1n$

Question

La función con la serie de Fourier dada por $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}+\sin{(nx)}}n$$ parece ser una curva con asíntotas verticales en $x=2\pi k$ donde $k\in\mathbb{Z}$ . ¿Existe una forma cerrada elemental para $f(x)$ ? Wolfram nos da $$f(x)=-\frac12(1+i)(\ln{(1-e^{-ix})}-i\ln{(1 - e^{ix})})$$ pero ¿hay alguna forma de simplificar la expresión anterior en una que no implique números complejos como la función $f(x)$ es claramente real?

Editar: He encontrado que esta pregunta puede haber sido hecha en diferentes contextos antes. He proporcionado una prueba de los resultados relacionados como una de las respuestas a continuación.

Answer 1

Podemos resolver cada una de las sumas por separado considerando la suma como la parte real o imaginaria de $$\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{inx}}n=-\ln{(1-e^{ix})},\qquad x\in\mathbb{R}\setminus \{0\}$$ Entonces podemos utilizar el hecho de que $$\ln{(z)}=\ln{(|z|)}+i\arg{(z)}$$ para separar la función anterior en sus partes real e imaginaria; $$\begin{align} -\ln{(1-e^{ix})} &=-\ln{(1-\cos{(x)}-i\sin{(x)})}\\ &=-\ln{(|1-\cos{(x)}-i\sin{(x)}|)}-i\arg{(1-\cos{(x)}-i\sin{(x)})}\\ &=-\frac12\ln{((1-\cos{(x)})^2+(\sin{(x)})^2)}-i\arctan{\left(\frac{-\sin{(x)}}{1-\cos{(x)}}\right)}\\ &=-\frac12\ln{(2-2\cos{(x)})}+i\arctan{\left(\frac{\sin{(x)}}{1-\cos{(x)}}\right)}\\ &=-\frac12\ln{\left(4\sin^2{\left(\frac{x}2\right)}\right)}+i\arctan{\left(\cot{\left(\frac{x}2\right)}\right)}\\ &=-\ln{\left(2\left|\sin{\left(\frac{x}2\right)}\right|\right)}+i\arctan{\left(\tan{\left(\frac{\pi-x}2\right)}\right)}\\ \end{align}$$ Por lo tanto, podemos evaluar las dos sumas como $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}n=\Re{\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{inx}}n\right)}=-\ln{\left(2\left|\sin{\left(\frac{x}2\right)}\right|\right)}$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{(nx)}}n=\Im{\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{e^{inx}}n\right)}=\arctan{\left(\tan{\left(\frac{\pi-x}2\right)}\right)}$$ Para $x\in(0,2\pi)$ esto se simplifica a los resultados $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{(nx)}}n=-\ln{\left(2\sin{\left(\frac{x}2\right)}\right)}$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin{(nx)}}n=\frac{\pi-x}2$$

Answer 2

$$ f(x) = - \frac{\ln(2-2\cos(x))}{2} + \arctan\left(\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}\right)$$