Por qué necesitamos $\sigma$ medida finita para definir $L^{p}$ ¿espacio?

Question

Tengo curiosidad por saber por qué necesitamos $\sigma$ medida finita para definir $L^{p}$ espacio. En términos más generales, por qué necesitamos $\sigma$ ¿medida finita en lugar de sólo medida finita?

Answer 1

Puede definir $L^p$ en cualquier espacio de medida que desee. Si sólo se trata de aquellas funciones medibles para las que $|f|^p$ es integrable. Y entonces modulas por funciones cero a.e.

Pero si no se impone alguna hipótesis como $\sigma$ finito, muchos resultados sobre $L^p(\mathbb R)$ no siempre se generalizan muy bien a los espacios de medidas arbitrarias.