¿La teoría K de Milnor surge de la teoría K de Waldhausen?

Question

Los grupos K superiores de anillos de Quillens se pueden realizar como π_nK(C) - la teoría K de Waldhausen de una categoría C de Waldhausen adecuada. ¿Es esto también cierto para Milnor K-Teoría de los Anillos? ¿Existe un funtor F de anillos a categorías de waldhausen s.t. $K^M_n(R)\cong \pi_n(K(F(R))$?

Answer 1

Bob Thomason demostró que no existe un funtor de la teoría K de Milnor para los esquemas, con un mapa razonable de la teoría K de Quillen, en:

Le principe de scindage et l'inexistence d'une $K$-theorie de Milnor globale. [La división principio y la inexistencia de un global Milnor $K$-theory] Topología 31 (1992), no. 3, 571--588.

• Juan

Answer 2

La pregunta original parece no haber sido respondida todavía. Una respuesta podría ser que sería antinatural esperar que todos los grupos K de Milnor de un campo R surjan como los grupos de homotopía de un solo espacio $K(F(R))$, porque la forma natural en que surgen actualmente es como grupos de homotopía de espacios separados, o mejor, de espectros separados. Los espectros son los espectros de Eilenberg-MacLane $\mathbb Z(n)$ asociados a los complejos de cadena que calculan la cohomología motriz de $R$,, es decir, $Kn^M R = \pi{-n} \mathbb Z(n)$.