Encuentre el valor de $~\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}~~~$ para $~|a|<1~.$

Question

Utilizando el teorema del residuo , hallar el valor de $$~\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}$$ para $~|a|<1~.$

Sé que el valor de la integral es $~\frac{2\pi}{1-a^2}~$ (Lo encontré usando la regla de la integral definida normal), pero no sé cómo encontrar lo mismo usando el teorema del residuo.

Alguien puede proporcionarme una solución completa utilizando teorema del residuo .

Answer 1

Sugerencia $$\cos\theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}.$$ Así, haciendo la sustitución $z=e^{i\theta }$ produce $$\int_0^{2\pi}\frac{\,\mathrm d \theta }{1-2a\cos(\theta )+a^2}=\int_{\gamma }\frac{z}{z-a(z^2+1)+za^2}\cdot \frac{1}{iz}\,\mathrm d z,$$ donde $\gamma $ es el círculo unitario.